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EL SOFISMA Y LA PARADOJA EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA. 

Renato Iraldi                      

1.- Introducción.

Paradojas y sofismas representan rompecabezas cuya solución nos ayuda a desarrollar la intuición mas que cualquier otra aplicación. Un sofisma es un razonamiento que nos parece irreprochable pero que, sin embargo, contiene un error que nos lleva a un resultado que al final nos resulta absurdo o que contradice principios fundamentales. Una paradoja, en cambio, representa una deducción cuyo resultado nos parece una insensatez o una contradicción pero que, en realidad, este resultado es correcto o si hay una contradicción esta contradicción proviene de un sofisma.

Paradojas y sofismas están estrechamente relacionadas, las dos representan una contradicción entre un resultado correcto y un resultado o una convicción incorrecta. La contradicción puede provenir de tres fuentes principales:

1. Un impedimento psicológico para abstraerse de la realidad y adoptar una posición ideal; como ejemplo de este tipo podemos citar la paradoja de la inercia, la ley de inercia nos parece contradictoria puesto que la experiencia diaria nos indica que, todos los cuerpos en movimiento, o lo pierden o tienen un motor que lo mantiene.
2. Una convicción del sometimiento de la naturaleza a ciertas reglas fundamentales, como por ejemplo la naturaleza absoluta del tiempo, que nos lleva a la paradoja de los gemelos en relatividad. O la convicción de que el futuro de una determinada situación física debe estar predeterminado. “ Dios no puede jugar a los dados” que nos conduce a la paradoja de Einstein, Podolski y Rosen.
3. Un sofisma que conduce a un resultado que contiene una contradicción con principios bien establecidos.

Fig. 1 Tres recipientes cuyos fondos tienen igual área A y contienen agua hasta la misma altura h. Si comparamos los pesos encontramos Pa> Pb> Pc . Sin embargo, la fuerza que ejerce el líquido sobre el fondo del recipiente es idéntico en los tres casos.

Esta paradoja se hace presente si descuidamos las fuerzas que el líquido ejerce sobre las paredes del recipiente, en el caso de que las paredes no sean verticales una componente de la fuerza sobre estas paredes contribuye en la formación del peso.               (Ver Fig 2.)

Fig 2. La presión y las áreas del fondo para los tres recipientes es la misma, por lo que las fuerzas en los fondos de los recipientes F= P A son iguales, pero el peso de los tres volúmenes de líquidos son diferentes, porque hay que tomar en cuenta también la fuerza sobre las paredes laterales. En el primer caso las fuerzas sobre las paredes laterales contribuyen al peso al igual que las fuerzas sobre el fondo, en el segundo caso no hay contribución y en el tercer caso las fuerzas sobre las paredes laterales contribuyen negativamente al peso.

La resolución de estos rompecabezas no es una tarea intranscendente, es el mejor ejercicio intelectual para poder escapar de la superficialidad y de la sumisión a los cánones establecidos, y nos sirve para descubrir los pequeños malentendidos que son compartidos por la enorme mayoría de los estudiantes de los primeros años de licenciatura.

2. Planteamiento del problema.

En este trabajo presentamos un sofisma que nos conduce a una violación del principio de conservación de la energía.
Consideremos un tubo cilíndrico compuesto de dos secciones de áreas A₁ y A₂ Este tubo contiene dos pistones conectados por una barra inextensible, Ver fig. 3. Los pistones pueden deslizarse sin fricción en el tubo. Los tubos están abiertos a la atmósfera mientras que en la parte interior a los dos pistones hay un gas ideal a temperatura T₀ y a una presión p mayor que la atmosférica lo que le permite soportar el peso de un cuerpo que descansa sobre el pistón en la parte inferior del tubo; como muestra la  figura 3.

Fig 3. Un aumento en la temperatura del gas interior debe producir un aumento en el volumen del gas para mantener la misma presión p y preservar el equilibrio mecánico.

La presión en el interior del cilindro no puede cambiar puesto que una presión mayor produciría un rompimiento del equilibrio mecánico al producir una fuerza sobre el pistón superior mayor que la ejercida sobre el pistón inferior por la presión y el peso de la carga colocada sobre él. Si la presión tendiera a aumentar los pistones se desplazarían hacia arriba aumentando el volumen para mantener la presión constante. Si el gas encerrado aumenta su temperatura, por la inyección de calor, deberán elevarse los pistones para mantener la misma presión y el equilibrio mecánico,. Calculemos la altura que recorrerán los pistones si el aumento de temperatura es DT

Como la presión debe quedar igual para preservar el equilibrio mecánico y la cantidad de gas encerrado no cambia. Entonces:

La variación del volumen la logra el sistema al subir los pistones una altura h, pues:

DV=(A₁-A₂)h

igualando estas dos ecuaciones tenemos el resultado buscado:

Podemos analizar este resultado, en particular las condiciones límites para evaluar la plausibilidad de la solución, tanto para convencernos de que el resultado no es contradictorio como para ganar intuición sobre el sistema en estudio. Muchas veces este procedimiento nos permite detectar errores, sea de procedimiento como de errores de concepción.
Comparemos la energía potencial ganada por el cuerpo que descansa sobre el pistón al inyectar una determinada cantidad de calor DQ, este calor puede suministrarse, por ejemplo, prendiendo un fósforo en el interior del tubo. Para el ejemplo que tratamos:

DQ=C_p DT

Donde C_p es el calor específico a presión constante del gas interior. Podemos entonces escribir:

Correspondiendo a un aumento de energía potencial de la carga de:

Con una determinada cantidad de calor  DQ inyectado al sistema podemos escoger la diferencia en áreas A₁- A₂ arbitrariamente pequeña y obtener cualquier cantidad de energía potencial que queramos. Esto no está en acuerdo con la conservación de la energía. ¿Como podemos explicar esta aparente contradicción?

 
3. Resolución del sofisma.

Primeramente calculemos la presión p en el interior del tubo. Para preservar el equilibrio mecánico, dada una determinada temperatura, tenemos:

mg=(p-p_a)A₁+(p_a-p)A₂=p(A₁-A₂)=p(A₁-A₂₎-p_a(A₁-A₂);           p_a  = presión atmosférica.

por lo que la presión en la parte interior a los pistones es:

p=p_a+mg/(A₁-A₂)

Vemos que también la presión en el interior del tubo debe tender al infinito cuando las áreas de los pistones se igualan.
Ahora bien, para un gas ideal:

C_p=5/2 nR
 
con n= número de moles y R la constante universal de los gases. La ley de los gases pV = n R T nos dice que: n=pV/RT. Sustituyendo en la expresión de la energía potencial con el valor dado de n tenemos:

Por lo tanto la transformación de calor en potencial no puede tener una eficiencia mayor a 2/5 y no se viola el principio de conservación de la energía.
 
Referencias.  
1. Paradojas y sofismas físicos. V. Langue; Editorial Mir, Moscu 1978

Renato Iraldi.     http://fisica.ciens.ucv.ve/

Douglas Figueroa.

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