La paradoja de Einstein Podolski y Rosen[1] (E.P.R) ha constituido un reto a las creencias de la mayor�a de los físicos, pues toca una de las suposiciones básicas de todo trabajo cient�fico: La predecibilidad. La creencia de la mayor�a de los f�sicos es que la naturaleza tiene que ser estrictamente causal; los sucesos al azar, como por ejemplo: el lanzamiento de dados, cuyo resultado no es predecible, se debe a una ignorancia moment�nea de los datos iniciales y a una imposibilidad de tomar en cuenta, en las ecuaciones descriptivas, todos los factores implicados en las ecuaciones de evoluci�n y no a una propiedad intr�nseca de la naturaleza. Esta creencia ha conducido a algunos f�sicos a afirmar que la mec�nica cu�ntica debe considerarse como una formulaci�n estad�stica de una teor�a mas fundamental; la incertidumbre cu�ntica deber�a, seg�n esta interpretaci�n, ser considerada de la misma clase de incertidumbre que se presenta en la formulaci�n de la mec�nica estad�stica.
La paradoja E.P.R, precisamente, apunta en esa direcci�n, tratando de mostrar que la incertidumbre cu�ntica no es intr�nseca a la naturaleza. La publicaci�n de ese trabajo abri� las puertas a una avalancha de art�culos, unos defendiendo la interpretaci�n de la naturaleza intr�nseca de la incertidumbre cu�ntica (interpretaci�n de Copenhagen) y otros tratando de establecer una teor�a mas fundamental cuyo tratamiento estad�stico conformar�a la mec�nica cu�ntica (teor�as de los par�metros ocultos)
2.- Correlaciones
Consideremos un conjunto de espines 1/2 todos preparados en el mismo estado cu�ntico |z,+> y avanzando hacia un medidor de la componente z del espin. En este caso podemos predecir con absoluta precisi�n el resultado de las mediciones, este resultado ser� una serie de + 1/2 que denotaremos S.
S ={ +,+,+,+,�}
En cambio, si los electrones se acercan a un medidor de la componente x del espin el resultado de las mediciones ser� una serie de + y - totalmente al azar. Si medimos en una direcci�n muy cercana al eje z obtendremos una serie de + y - pero con una probabilidad grande de obtener + y una probabilidad peque�a de obtener -.Definimos el coeficiente de correlaci�n entre dos series de medidas como:
h = P++ + P-- + P+ - +
P-+
donde P++ es la probabilidad de que si el n-esimo signo de la primera serie es + entonces el n-esimo de la segunda serie sea +, y definiciones equivalentes para los otros s�mbolos.
Supongamos ahora que tenemos dos conjuntos de espines todos preparados en el mismo estado |z,+>, si los dos conjuntos se miden seg�n el eje +z, obtendremos dos series que contendr�n todos signos +, y el coeficiente de correlaci�n ser� h=1.
Si un conjunto de espines se mide en la direcci�n +z. y el segundo conjunto en la direcci�n +x entonces obtendremos dos series: una serie de signos + y una serie de signos + y - al azar. En este caso: P++ = P+ - = 1/2, y el coeficiente de correlaci�n ser� cero. Si medimos el primer conjunto seg�n el eje +z y el segundo seg�n el eje que forma un �ngulo q con el eje z , vamos a tener dos series S{1} y S{2} con correlaci�n:
Supongamos que tenemos un conjunto de pares de part�culas de espin � cuyos estados de dos part�culas tengan un momento angular total J = 0, y que llamaremos pares E.P.R. Si dirigimos los pares de part�culas a detectores diferentes A y B, como en la Fig.1, estos pares estar�n fuertemente correlacionados. (Note que los ejes en A se escogen dirigidos en direcci�n contraria a los ejes en B, si el eje z de A apunta hacia abajo, entonces el eje z de B apunta hacia arriba).
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| fig. 1 Pares de electrones se dirigen a dos detectores, A y B. Note que los ejes locales tienen direcciones contrarias en A respecto a las direcciones en B. |
Si, ambos A y B, miden la componente de su eje local +z, entonces la correlaci�n entre las medidas ser�: hzz =1. En general, si los dos miden la componente de los espines seg�n el mismo eje local, tendremos hzz =1: Si A mide la componente +x y B la componente +z el valor ser� hzx =0. Mas general, si A mide en la direcci�n +z y B en la direcci�n que hace un �ngulo q con la direcci�n +z entonces: hzq = cos q .
4.- Una predicci�n parad�jica.
Consideremos nuevamente el sistema descrito en la fig.1, la mec�nica cu�ntica s�lo nos permite predecir las probabilidades de la medici�n en una direcci�n para A y una direcci�n para B; por lo tanto, s�lo podremos predecir las correlaciones para una secuencia de medidas en A con otra secuencia de medidas en B, la fig.2 nos muestra el resultado del c�lculo, de las correlaciones en el contexto de la mec�nica cu�ntica, entre las medidas posibles sobre este sistema; donde se denota la serie de medidas, de la componente x de los espines, que obtendr�a A en el conjunto de espines que se dirigen hacia �l como Sx(A) y en la misma forma definiremos: Sz(A) y Sq(A) . Y lo mismo para B. i.e
Las correlaciones entre las otras posibles medidas se obtienen, de las dadas, por simetr�a.
Suposiciones:
Los detectores A y B pueden encontrarse muy alejados uno del otro, y las medidas pueden realizarse simult�neamente, por lo que asumiremos:
1.- Localidad: las medidas efectuadas en B no pueden afectar el resultado de las medidas efectuadas en A, y rec�procamente.
Si subyacente
a la mec�nica cu�ntica existe una descripci�n por par�metros ocultos,
entonces:
2.-
"Determinismo"[2] Dado un conjunto de electrones acerc�ndose a un
aparato de medida y dado el eje en que se va a realizar la medida, las salidas
est�n predeterminadas.
Tomando en cuenta estas dos suposiciones tenemos que:
por lo que:
En el ap�ndice 4 se demuestra que: Si tenemos dos series de salidas +,- al azar y cuya correlaci�n es =0, y otra serie de salidas + y - al azar cuyas correlaciones con las dos primeras valen: h1 y h2 entonces:
h1 + h2 � 1
Este teorema es un caso particular de un teorema mas general que se debe a Bell[3]. Las ecuaciones de arriba violan, claramente, esta �ltima desigualdad. Debemos concluir, por lo tanto, que:
O bien la mec�nica cu�ntica no se adec�a a la descripci�n de los espines, o bien una de las suposiciones 1 o 2 es falsa.
La mec�nica cu�ntica no puede falsificarse por este medio porque las correlaciones dadas por la fig.2 han sido confirmadas experimentalmente. Por lo tanto, una de las suposiciones debe ser inadecuada para la descripci�n de los sistemas que se estudian en la f�sica.
La violaci�n de la suposici�n 2, la falta de determinaci�n, es algo que los f�sicos se niegan a considerar. Esto se puede ilustrar con la c�lebre frase de Einstein "Dios no juega con los dados".
La otra posibilidad es que la medida simult�nea de un detector (B) pueda afectar simultaneamente a otro detector (A) situado a gran distancia; en este caso admitir�amos la posibilidad de que la informaci�n viaje a velocidades superlum�nicas y se trastorne la relaci�n causa-efecto. Sin embargo, esta informaci�n que se transmitir�a a velocidad superlum�nica s�lo sirve para darle una interpretaci�n determinista a la mec�nica cu�ntica pero no nos servir�a para la transmisi�n de una verdadera informaci�n.
4.- Conclusiones.
En este trabajo he tratado de presentar en forma elemental, accesible a estudiantes de la licenciatura, uno de los dos grandes problemas de la teor�a de la medida en mec�nica cu�ntica. La violaci�n, por parte de los postulados de la medici�n, de las desigualdades de Bell, y, por lo tanto, la imposibilidad de formular una teor�a de par�metros ocultos local (consistente con la relatividad) y determinista (predictiva). La falta de cualquiera de estas propiedades le quitar�a toda utilidad a una teor�a de par�metros ocultos.
[1] A. Einstein, B.Podolsky and N. Rosen. Phys Rev. 47 (1935) 777
[2] J. S. Bell, Physics (N.Y) 1, 195, (1965)
[3] A. Aspect, P. Grangier and G. Roger. 49, 2 (1982) 91
Renato Iraldi Riraldi@yahoo.com
Ap�ndice
Definiciones:
Serie de mediciones, es una serie de signos + o - al azar, provenientes de la medici�n de la componente del esp�n seg�n un eje dado.
Correlaci�n entre dos series de medidas.- Definiremos la correlaci�n entre dos series de medidas como:
h = P+ + + P- - - P+ - - P-
+
donde P+ - es la probabilidad de que el en�simo signo de la primera serie es + y el en�simo de la segunda serie - . Y definiciones similares para los otros s�mbolos.
Sea P+ + + La probabilidad de que el en�simo signo de la primera serie sea + , el en�simo de la segunda sea + y el en�simo de la tercera + .
Teorema (Bell): Si tenemos dos series de medidas con salidas + y - al azar, cuya correlaci�n sea h(1,2) = 0, y una tercera serie de medidas cuya correlaci�n con las dos primeras sea h(1,3) y h(2,3) Entonces:
h(1,3) + h(2,3) � 1
Demostraci�n.- Sea
h(1,3) = P+
+(1,3) + P- - (1,3) - P+ -(1,3) - P- +(1,3)
h(2,3) = P+ +(2,3) + P- - (2,3) - P+ -(2,3) - P- +(2,3)
Para todas las series P+ + P- = 1 la correlaci�n entre las series de medidas tambi�n puede escribirse: Usando expresiones del tipo P+ + = P+ + (P+ + P-) = P+ + + + P+ + - . donde se sobrentienden los super�ndices 1,2,3
h(1,3) = P+ + +
+ P+ -+ + P- + - + P- - - - P+ +
- - P+ - - - P- + + - P- -+
h(2,3) = P+ + + + P-
+ + + P+ - - + P- - - - P+ + - - P- +
- - P+ - + -
P- - +
Sumando tenemos:
h(1,3) + h(2,3) =2 P+ + + + 2 P- - - -2 P+ + - -2 P- - +
usando:
P+ +.+ = P+ +(1,2) - P+ + - y P- - - = P- - (1,2) - P- - +
queda:
h(1,3) + h(2,3) = 2 P+ +(1,2)
+ 2P- -(1,2) - 4P+ + - - 4P- -
+-
como h(1,2) = 0 = P+ +(1,2) + P- - (1,2) - P+ -(1,2) - P- +(1,2) = 0
y P+ +(1,2) + P- - (1,2) + P+ -(1,2) + P- +(1,2) =1
sumando tenemos:
2P+ +(1,2) + 2 P- - (1,2) = 1, y
h(1,3) + h(2,3) = 1- 4P+ + - -
4P- - +
� 1
Q.E.D