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Caracas, 1 de julio de 2001.

Lanzamiento de proyectiles.- Teoría Aristotélica.

Renato Iraldi

La especulación científica comienza en Grecia en el siglo VI a.C. y llega a su punto más  prominente en las mentes esclarecidas de Platón y Aristóteles. Platón sostenía que el mundo físico debe entenderse sólo a partir de la razón, para Platón la ciencia debe derivarse de la teología. Aristóteles aún siendo un platónico de joven, pronto se aparta de su maestro y establece una filosofía alternativa. Su trabajo, predominantemente en biología, lo conduce a desarrollar el método de investigación que denominamos el método empírico.  Este método consiste en buscar, por la observación, algunas verdades indubitables y a partir de ellas, con reglas lógicas también establecidas por él (Lógica Aristotélica), deducir y explicar los fenómenos naturales.

El método Aristotélico aplicado al estudio del movimiento nos encara a la pregunta de cuales son sus causas, puesto que nunca observamos que los cuerpos conserven el movimiento o que un cuerpo en reposo comience a moverse por sí solo. Por lo tanto, una verdad indubitable es que el movimiento tiene una causa y que al acabarse la causa también éste se acaba. Aristóteles reconocía dos causas del movimiento: una natural, que poseían todos los cuerpos pesados, y consistía en la necesidad de buscar su posición natural, que es la de estar lo más cercano posible al centro de la Tierra. Según Aristóteles las piedras caen porque ésta es su naturaleza. La otra causa es la que actúa en el movimiento  forzado, como cuando se lanza una piedra, en este caso es un motor (el lanzador) el que imprime el movimiento, y el móvil conserva una parte que se va desgastando por la acción de la resistencia del aire; Pero Aristóteles suponía que es también el aire el responsable  de seguir empujando al móvil, jugando así un doble papel.

Las observaciones aplicadas al estudio de proyectiles conducen a Aristóteles a formular un modelo paradigmático para este tipo de móviles: El proyectil, al ser lanzado, conservará su movimiento ascendente en línea recta hasta consumir su movimiento forzado, recorriendo una distancia S. Luego, desde el punto en que ha llegado, se moverá verticalmente en búsqueda del centro de la Tierra. La trayectoria paradigmática se muestra en la fig.1.

En la literatura que ha llegado hasta nosotros, de esa época, no hay ningún análisis cuantitativo de esta aproximación al estudio del movimiento de proyectiles ni su comparación con el experimento. Lo que sí conocemos es que este modelo fue unánimemente aceptado por los antiguos y fue usado hasta la edad media. Fue Galileo ( 1564-1642 ) quien muestra que este modelo nos lleva a un callejón sin salida y formula el que conocemos hoy en día. A partir de allí el modelo de Aristóteles sólo ha recibido críticas destructoras, a tal punto que se ha acusado a todos los griegos de la antigüedad de aceptar verdades sin someterlas a la mínima prospección experimental, lo que me parece no sólo exagerado sino totalmente injusto. Galileo vuelve al método Platónico de analizar la realidad por medio de la razón explorando modelos idealizados, aunque no se puedan observar. Esto le permite formular un modelo paradigmático consistente en despreciar al aire y basado en el principio de inercia; tal como hoy lo conocemos. Ya Aristóteles había considerado el movimiento en el vacío, con reflexiones parecidas a las de Galileo, pero llegando a conclusiones diferentes. “Como el aire se resiste al movimiento de los cuerpos, si el aire fuera sacado, un cuerpo o bien se quedaría quieto, porque no tendría donde ir, o si se mueve se quedaría moviendo con la misma velocidad para siempre. Como esto es absurdo; no puede existir el vació”⁽¹⁾.

Como ejercicio académico podemos analizar hasta donde el modelo Aristotélico permite hacer predicciones. Para ello buscaremos una consecuencia de su modelo y la compararemos con el resultado experimental.

Debemos tomar el modelo en su límite paradigmático, donde el móvil al final ha consumido todo el movimiento en la dirección horizontal y se mueve verticalmente. Definiremos la distancia máxima horizontal d_M como la distancia horizontal que el proyectil ha recorrido una vez que alcanza la situación en que su velocidad sólo tiene componente vertical. La figura muestra que en la teoría Aristotélica la distancia máxima horizontal será igual a: d_M=S cosa , donde a es el ángulo que forma la línea de lanzamiento con la dirección horizontal. Puesto que el movimiento forzado es independiente del movimiento vertical la distancia  recorrida S es independiente de la dirección en que fue lanzado el proyectil⁽²⁾.

En vez de comparar este resultado con el experimento hemos calculado la d_M en el contexto de la teoría newtoniana tomando en cuenta la resistencia con el aire.

La ecuación de movimiento la escribimos: con V₀ la velocidad de lanzamiento del proyectil, V la velocidad instantánea  y a  el ángulo de tiro.

para definir la fuerza de roce hemos utilizado la velocidad máxima en caída libre v_l mediante la ecuación:F_r=L V²  , por lo tanto tenemos: L= mg/ v_l² .

Algunas de las trayectorias calculadas de esta manera se muestran en la figura 2. En esta figura se ha utilizado v_l=50 m/s, y V₀=100 m/s . En la figura 3 se reporta la distancia horizontal máxima, calculada con las ecuaciones de arriba, considerando como resultado experimental; y la calculada por la expresión: d_M=S cosa.

Las figuras 2 y 3 muestran la concordancia de las predicciones del modelo Aristotélico con el modelo Newtoniano en el límite paradigmatico: en el límite en que el roce con el aire es la fuerza dominante aplicada al móvil.

Fig .2 trayectorias de un proyectil en presencia del roce con el aire para tres ángulos de tiro. Note la gran diferencia que presentan estas trayectorias con una parábola.	Fig .2 Distancia horizontal máxima en función del ángulo de tiro.

Actualmente consideramos las teorías científica como si se tratara de verdades absolutas. Esto frecuentemente nos induce a despreciar muchos acercamientos a la verdad científica del pasado presentándola como una aproximación ingenua y en muchas ocasiones haciéndole criticas injustas. Con esta muestra pretendo llamar la atención sobre los hermosos trabajos que nos legaron los griegos; dignos de discusión en nuestros cursos introductorios de física.

Renato Iraldi. Riraldi@Yahoo.com

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Por modelo  paradigmático de una realidad física designamos un modelo en el cual se destacan los efectos más importantes que permiten describir y entender dicha realidad ignorando fenómenos colaterales, que pueden oscurecer nuestra percepción, destacando así los efectos esenciales.

 Cuando estudiamos el roce entre dos superficies que resbalan la una sobre la otra tomamos la fuerza de roce como: F=m N , donde m es un coeficiente que caracteriza a las dos superficies. Esta ley no es cierta en general sólo dentro de ciertos límites de la fuerza N es válida, además no depende sólo de los materiales que conforman las dos superficies, también depende del grado de pulitura, de la contaminación, de la temperatura etc. Sin embargo es una ley que se acerca adecuadamente a la realidad y nos sirve como lugar de partida para incluir otros efectos. Para esto sirven los modelos paradigmáticos.

El paradigma Aristotélico es adecuado para tratar proyectiles cuyo lanzamiento se realiza a gran velocidad, donde la fuerza de roce con el aire es predominante frente a la fuerza de gravedad. La observación de este tipo de movimiento nos da la sensación de una trayectoria muy parecida a la que propone Aristóteles como paradigma del movimiento. Sin embargo si observamos lanzamientos a muy baja velocidad entonces la trayectoria se aleja considerablemente de la trayectoria descrita. Esto debido a que el móvil se encuentra sometido a dos fuerzas en competición.

Galileo rechaza el paradigma de Aristóteles. Él se plantea el problema de como debe ser el movimiento en ausencia de aire, una situación imposible en la época, pero mucho más cercano a la realidad para movimientos a muy bajas velocidades donde la resistencia del aire, que es proporcional al cuadrado de la velocidad, es mínima⁽³⁾. Recuérdese que Galileo estaba interesado en comprender el movimiento de los péndulos, los cuales pasan la mayor parte del tiempo a velocidades muy cercanas a cero.

El paradigma de Galileo resultó mucho más útil para entender el movimiento porque éste permite agregar en forma matemática los otros elementos, como el roce con el aire, y calcular las trayectorias. Así hoy en día aun para calcular lanzamientos de proyectiles a muy alta velocidad se parte del paradigma Galileano y, luego, se agregan las fuerzas  de roce, tal como se hace en este artículo.  

(1)     ARISTOTLE. Aristotle´s Physics, ed.W.D.Ross, Oxford, 1936

(2)     En realidad Aristóteles decía que mientras hay movimiento forzado no hay movimiento hacia el centro de la tierra, lo que evidentemente es falso.

(3)     En realidad a bajas velocidades la resistencia del aire es proporcional al módulo de la velocidad. Pero en ambos casos para velocidades pequeñas la fuerza de roce tiende a cero.

Renato Iraldi-