Formalismo de Keldysh

Apéndice B. La Aproximación de Weisskopf-Wigner: Decaimiento Espontáneo

En este apéndice consideramos el decaimiento espontáneo de un átomo desde un estado excitado hacía su estado fundamental. Tal estudio es realizado con el modelo descrito previamente en Átomo $+$ Radiación mediante la Aproximación de Weisskopf-Wigner. Tal aproximación es descrita, a continuación, en esta sección.

En tal caso consideramos el sistema descrito por el estado $\ket{\Psi\pars{t}}$ el cual es expandido en términos de un conjunto particular de autoestados del hamiltoniano sin interacción átomo-radiación. Es decir,

$$ \braces{\ket{+,0}} \bigcup \braces{\ket{-,1_{k}}\,,\quad k \equiv j\,{\pi \over L}\,,\quad j = 1,2,3,\ldots} $$ con $\braketd{+,0}{-,1_{k}} = 0$, $\braketi{+,0}{+,0} = 1$ y $\braketd{0,1_{k}}{0,1_{k'}} = \delta_{kk'}$.

• $\ket{+,0}$ describe el estado excitado del átomo $\ket{+}$ y el estado vacío de fotones $\ket{0_{\rm f}}$ con energía $E_{+} + \varepsilon_{\rm f0}$. $\hbar = 1$. $\varepsilon_{\rm f0} \equiv \sum_{k}\omega_{k}/2$. Es decir, $\ket{+,0} \equiv \ket{+}\ket{0_{\rm f}}$.
• $\ket{-,1_{k}}$ describe el estado fundamental $\ket{-}$ del átomo y un estado $\ket{1_{k}}$ de un fotón con número de onda $k$ cuya energía viene dada por $E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}$. $\hbar = 1$. Es decir, $\ket{-,1_{k}} \equiv \ket{-}\ket{1_{k}}$.

\begin{align} \ket{\Psi\pars{t}} & \equiv \alpha_{+}\pars{t}\ket{+,0} + \sum_{k}\alpha_{k}\pars{t}\ket{-,1_{k}}\,;\quad \verts{\alpha_{+}\pars{t}}^{2} + \sum_{k}\verts{\alpha_{k}\pars{t}}^{2} = 1\,,\ \forall\ t \label{PsiWWt} \\& \mbox{con la condición}\qquad \alpha_{+}\pars{t_{0}} = 1\,;\quad \alpha_{k}\pars{t_{0}} = 0\,,\ \forall\ k\label{ccAR} \end{align} La condición \eqref{ccAR} indica que en el instante inicial $t_{0}$ el átomo se encuentra en el estado excitado $\ket{+}$ en ausencia de fotones.

Note que el hamiltoniano del sistema

$$ H = E_{-} + \Delta\,b\+b + \sum_{k}\pars{a_{k}\+a_{k} + \half}\omega_{k} -{\cal V} \sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\pars{a_{k}\+b + b\+a_{k}}\,, \quad\Delta = E_{+} - E_{-} > 0 $$ conduce a \begin{align*} H\ket{+,0} & =\ \ob{E_{-}\ket{+,0} + \Delta\ket{+,0} + \varepsilon_{\rm f0}\ket{+,0}} {\pars{E_{+}\ +\ \varepsilon_{\rm f0}}\ket{+,0}}\ -\ {\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\ket{-,1_{k}} \\ H\ket{-,1_{k}} & = \pars{E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}}\ket{-,1_{k}} -{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\ket{+,0} \end{align*} Con estas expresiones y el estado \eqref{PsiWWt}, la Ecuación de Schroedinger $H\ket{\Psi\pars{t}} = \ic\hbar\,\partial_{t}\ket{\Psi\pars{t}}$ se reduce a \begin{align} &\phantom{= + \sum_{k}}\alpha_{+}\pars{t}\bracks{% \pars{E_{+} + \varepsilon_{\rm f0}}\ket{+,0} -{\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\ket{-,1_{k}}} \nonumber \\&\phantom{=}+ \sum_{k}\alpha_{k}\pars{t}\bracks{% \pars{E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}}\ket{-,1_{k}} -{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\ket{+,0}} \nonumber \\&= \ic\hbar\, \dot{\alpha}_{+}\pars{t}\ket{+,0} +\ic\hbar\sum_{k}\dot{\alpha}_{k}\pars{t}\ket{-,1_{k}} \end{align} la cual equivale al par de ecuaciones $\pars{~\mbox{con}\ \hbar = 1~}$ \begin{equation} \left\lbrace\begin{array}{rcrcr} \ic\dot{\alpha}_{+}\pars{t} & = & \pars{E_{+} + \varepsilon_{\rm f0}}\alpha_{+}\pars{t} &-&{\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\alpha_{k}\pars{t} \\ \ic\dot{\alpha}_{k}\pars{t} & = & -{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\alpha_{+}\pars{t} & + &\pars{E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}}\alpha_{k}\pars{t} \end{array}\right. \label{ecaplusak} \end{equation} Con la introducción de $$ \wt{\alpha}_{+}\pars{t} \equiv \exp\pars{\ic\bracks{E_{+} + \varepsilon_{\rm f0}}t} \alpha_{+}\pars{t} \quad\mbox{y}\quad \wt{\alpha}_{k}\pars{t} \equiv \exp\pars{\ic\bracks{E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}}t} \alpha_{k}\pars{t} $$ las Ecs. \eqref{ecaplusak} se reducen a $\pars{~\mbox{note que}\ \verts{\wt{\alpha}_{+}\pars{t}}^{2} + \sum_{k}\verts{\wt{\alpha}_{k}\pars{t}}^{2} = 1\,,\ \forall\ t~}$ \begin{equation} \left\lbrace\begin{array}{rcl} \dot{\wt{\alpha}}_{+}\pars{t} & = & \ic{\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ} \exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t}\wt{\alpha}_{k}\pars{t} \\ \dot{\wt{\alpha}}_{k}\pars{t} & = & \ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ} \exp\pars{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t}\wt{\alpha}_{+}\pars{t} \end{array}\right. \label{wtecaplusak} \end{equation} La segunda de estas ecuaciones se reduce a la ecuación integral \begin{equation} \wt{\alpha}_{k}\pars{t} = \ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ} \int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t'} \wt{\alpha}_{+}\pars{t'}\,\dd t' \label{ecintalphamas} \end{equation} puesto que $\wt{\alpha}_{k}\pars{t_{0}} = 0$. Reemplazando esta expresión en la primera de las Ecs. \eqref{wtecaplusak} se obtiene \begin{align} \dot{\wt{\alpha}}_{+}\pars{t} &= \ic{\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ} \exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t}\times \nonumber \\&\phantom{\ =\ } \braces{\ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ} \int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t'} \wt{\alpha}_{+}\pars{t'}\,\dd t'} \nonumber \\& = -{\cal V}^{2}\sum_{k}\omega_{k}\sen^{2}\pars{kZ} \int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}\bracks{t - t'}} \wt{\alpha}_{+}\pars{t'}\,\dd t' \label{apuntoa} \end{align} \begin{align*} \int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}\bracks{t - t'}} \wt{\alpha}_{+}\pars{t'}\,\dd t' &\approx \braces{% \int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}\bracks{t - t'}} \,\dd t'}\wt{\alpha}_{+}\pars{t} \\&\approx 2\pi\,\delta\pars{\omega_{k} - \Delta}\,\wt{\alpha}_{+}\pars{t} \end{align*} Ec. \eqref{apuntoa} se reduce a

La probabilidad de que en el instante $t \to \infty$ el estado del sistema consiste de un fotón con número de onda $k$ y el átomo en el estado fundamental $\ket{-}$ viene dada por $\lim_{t \to \infty}\verts{\wt{\alpha}_{k}\pars{t}}^{2}$. $\wt{\alpha}_{k}\pars{t}$ se evalua con ( ver Ec. \eqref{ecintalphamas} )

\begin{align*} \lim_{t \to \infty}\wt{\alpha}_{k}\pars{t} & \approx \ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ} \int_{t_{0}}^{\infty}\exp\pars{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t'} \bracks{% \wt{\alpha}_{+}\pars{t_{0}}\expo{-\Gamma\pars{t' - t_{0}}/2}}\,\dd t' \\[3mm]&= \ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\wt{\alpha}_{+}\pars{t_{0}} \expo{\Gamma t_{0}/2}\int_{t_{0}}^{\infty}\exp\pars{% \braces{-\,\half\,\Gamma + \ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}}t'} \,\dd t' \\[3mm]&= -\ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\wt{\alpha}_{+}\pars{t_{0}} {\exp\pars{\braces{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}}t_{0}} \over -\Gamma/2 + \ic\pars{\omega_{k} - \Delta}} \end{align*} Dada la aproximación de Weisskopf-Wigner, este resultado es una aproximación al resultado exacto.