$\newcommand{\+}{^{\dagger}}\newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}\newcommand{\bose}{\,{\rm n}}\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right\vert}\newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}\newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}\newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \vert #2 \right\rangle}\newcommand{\braketi}[2]{\left.\left\langle #1 \right\vert #2 \right\rangle}\newcommand{\braketd}[2]{\left\langle #1 \left\vert #2 \right\rangle\right.}\newcommand{\ck}{{\rm C_{K}}}\newcommand{\dd}{{\rm d}}\newcommand{\dos}{\,{\cal D}}\newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}\newcommand{\eofm}[3]{\left\langle #1 \left\vert #2 \right\vert #3 \right\rangle}\newcommand{\expo}[1]{{\rm e}^{#1}}\newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}\newcommand{\fvec}[1]{\,\vec{\rm #1}}\newcommand{\half}{{1 \over 2}}\newcommand{\ic}{{\rm i}}\newcommand{\iff}{\Leftrightarrow}\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}\newcommand{\kb}{{\rm k_{B}}}\newcommand{\kelvin}{\,{\rm K}}\newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1 \right\rangle}\newcommand{\ketbra}[2]{\left\vert #1 \right\rangle\left\langle #2 \right\vert}\newcommand{\mat}[1]{{\sf #1}}\newcommand{\ob}[2]{\overbrace{ #1 }^{#2}}\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}\newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}\newcommand{\partiald}[3][]{{\partial^{#1}#2 \over \partial #3^{#1}}}\newcommand{\pp}{{\cal P}}\newcommand{\raiz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\, {#2}\, }\,}\newcommand{\sen}{\,{\rm sen}}\newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}\newcommand{\ss}[1]{\scriptstyle{#1}}\newcommand{\sss}[1]{\scriptscriptstyle{#1}}\newcommand{\tk}{{\rm T_{K}}}\newcommand{\trace}{{\rm Tr}}\newcommand{\totald}[3][]{{{\rm d}^{#1}#2 \over {\rm d}^{#1}#3}}\newcommand{\ub}[2]{\underbrace{ #1 }_{#2}}\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}\newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}\newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$
Apéndice B. La Aproximación de
Weisskopf-Wigner: Decaimiento
Espontáneo
En este apéndice consideramos el decaimiento
espontáneo
de un átomo desde un estado excitado
hacía su estado fundamental. Tal estudio es realizado con el
modelo descrito previamente en
Átomo $+$ Radiación
mediante la Aproximación de Weisskopf-Wigner. Tal
aproximación es descrita, a continuación, en esta
sección.
En tal caso consideramos el sistema descrito por el estado
$\ket{\Psi\pars{t}}$ el cual es expandido en términos de un
conjunto particular de autoestados del hamiltoniano sin
interacción átomo-radiación. Es decir,
$$
\braces{\ket{+,0}} \bigcup
\braces{\ket{-,1_{k}}\,,\quad k \equiv j\,{\pi \over L}\,,\quad
j = 1,2,3,\ldots}
$$
con $\braketd{+,0}{-,1_{k}} = 0$,
$\braketi{+,0}{+,0} = 1$ y $\braketd{0,1_{k}}{0,1_{k'}} = \delta_{kk'}$.
- $\ket{+,0}$ describe el estado excitado del átomo
$\ket{+}$ y el
estado vacío de fotones
$\ket{0_{\rm f}}$ con energía $E_{+} + \varepsilon_{\rm f0}$.
$\hbar = 1$. $\varepsilon_{\rm f0} \equiv \sum_{k}\omega_{k}/2$. Es
decir, $\ket{+,0} \equiv \ket{+}\ket{0_{\rm f}}$.
- $\ket{-,1_{k}}$ describe el estado fundamental $\ket{-}$ del
átomo y un estado $\ket{1_{k}}$ de un fotón con
número de onda $k$ cuya energía viene dada por
$E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}$. $\hbar = 1$. Es decir,
$\ket{-,1_{k}} \equiv \ket{-}\ket{1_{k}}$.
\begin{align}
\ket{\Psi\pars{t}}
& \equiv \alpha_{+}\pars{t}\ket{+,0}
+ \sum_{k}\alpha_{k}\pars{t}\ket{-,1_{k}}\,;\quad
\verts{\alpha_{+}\pars{t}}^{2} + \sum_{k}\verts{\alpha_{k}\pars{t}}^{2}
= 1\,,\ \forall\ t
\label{PsiWWt}
\\&
\mbox{con la condición}\qquad
\alpha_{+}\pars{t_{0}} = 1\,;\quad
\alpha_{k}\pars{t_{0}} = 0\,,\ \forall\ k\label{ccAR}
\end{align}
La condición \eqref{ccAR} indica que en el instante inicial
$t_{0}$ el átomo se encuentra en el estado excitado $\ket{+}$
en ausencia de fotones.
Note que el
hamiltoniano del
sistema
$$
H = E_{-} + \Delta\,b\+b
+ \sum_{k}\pars{a_{k}\+a_{k} + \half}\omega_{k}
-{\cal V}
\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\pars{a_{k}\+b + b\+a_{k}}\,,
\quad\Delta = E_{+} - E_{-} > 0
$$
conduce a
\begin{align*}
H\ket{+,0}
& =\ \ob{E_{-}\ket{+,0} + \Delta\ket{+,0} + \varepsilon_{\rm f0}\ket{+,0}}
{\pars{E_{+}\ +\ \varepsilon_{\rm f0}}\ket{+,0}}\
-\ {\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\ket{-,1_{k}}
\\
H\ket{-,1_{k}}
& = \pars{E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}}\ket{-,1_{k}}
-{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\ket{+,0}
\end{align*}
Con estas expresiones y el estado \eqref{PsiWWt}, la
Ecuación
de Schroedinger
$H\ket{\Psi\pars{t}} = \ic\hbar\,\partial_{t}\ket{\Psi\pars{t}}$ se
reduce a
\begin{align}
&\phantom{= + \sum_{k}}\alpha_{+}\pars{t}\bracks{%
\pars{E_{+} + \varepsilon_{\rm f0}}\ket{+,0}
-{\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\ket{-,1_{k}}}
\nonumber
\\&\phantom{=}+
\sum_{k}\alpha_{k}\pars{t}\bracks{%
\pars{E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}}\ket{-,1_{k}}
-{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\ket{+,0}}
\nonumber
\\&=
\ic\hbar\,
\dot{\alpha}_{+}\pars{t}\ket{+,0}
+\ic\hbar\sum_{k}\dot{\alpha}_{k}\pars{t}\ket{-,1_{k}}
\end{align}
la cual equivale al par de ecuaciones $\pars{~\mbox{con}\ \hbar = 1~}$
\begin{equation}
\left\lbrace\begin{array}{rcrcr}
\ic\dot{\alpha}_{+}\pars{t}
& = &
\pars{E_{+} + \varepsilon_{\rm f0}}\alpha_{+}\pars{t}
&-&{\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\alpha_{k}\pars{t}
\\
\ic\dot{\alpha}_{k}\pars{t}
& = &
-{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\alpha_{+}\pars{t}
& + &\pars{E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}}\alpha_{k}\pars{t}
\end{array}\right.
\label{ecaplusak}
\end{equation}
Con la introducción de
$$
\wt{\alpha}_{+}\pars{t}
\equiv \exp\pars{\ic\bracks{E_{+} + \varepsilon_{\rm f0}}t}
\alpha_{+}\pars{t}
\quad\mbox{y}\quad
\wt{\alpha}_{k}\pars{t}
\equiv \exp\pars{\ic\bracks{E_{-} + \omega_{k} + \varepsilon_{\rm f0}}t}
\alpha_{k}\pars{t}
$$
las Ecs. \eqref{ecaplusak} se reducen a
$\pars{~\mbox{note que}\
\verts{\wt{\alpha}_{+}\pars{t}}^{2} +
\sum_{k}\verts{\wt{\alpha}_{k}\pars{t}}^{2}
= 1\,,\ \forall\ t~}$
\begin{equation}
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\dot{\wt{\alpha}}_{+}\pars{t}
& = &
\ic{\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}
\exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t}\wt{\alpha}_{k}\pars{t}
\\
\dot{\wt{\alpha}}_{k}\pars{t}
& = &
\ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}
\exp\pars{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t}\wt{\alpha}_{+}\pars{t}
\end{array}\right.
\label{wtecaplusak}
\end{equation}
La segunda de estas ecuaciones se reduce a la ecuación integral
\begin{equation}
\wt{\alpha}_{k}\pars{t}
=
\ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}
\int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t'}
\wt{\alpha}_{+}\pars{t'}\,\dd t'
\label{ecintalphamas}
\end{equation}
puesto que $\wt{\alpha}_{k}\pars{t_{0}} = 0$. Reemplazando esta
expresión en la primera de las Ecs. \eqref{wtecaplusak} se
obtiene
\begin{align}
\dot{\wt{\alpha}}_{+}\pars{t}
&=
\ic{\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}
\exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t}\times
\nonumber
\\&\phantom{\ =\ }
\braces{\ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}
\int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t'}
\wt{\alpha}_{+}\pars{t'}\,\dd t'}
\nonumber
\\& =
-{\cal V}^{2}\sum_{k}\omega_{k}\sen^{2}\pars{kZ}
\int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}\bracks{t - t'}}
\wt{\alpha}_{+}\pars{t'}\,\dd t'
\label{apuntoa}
\end{align}
Weisskopf y Wigner suponen que
- La tasa de decaimiento $\Gamma$ satisface
$\Gamma \ll \Delta$ o/y $1/\Gamma \gg 1/\Delta$
- y que $\wt{\alpha}_{+}\pars{t'}$ no depende de instantes de tiempo
anteriores a $t$
$\pars{~\wt{\alpha}_{+}\pars{t'} \approx
\wt{\alpha}_{+}\pars{t}\,,\ t' \leq t~}$ lo cual se conoce como
la Aproximación de Weisskopf-Wigner.
\begin{align*}
\int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}\bracks{t - t'}}
\wt{\alpha}_{+}\pars{t'}\,\dd t'
&\approx
\braces{%
\int_{t_{0}}^{t}\exp\pars{-\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}\bracks{t - t'}}
\,\dd t'}\wt{\alpha}_{+}\pars{t}
\\&\approx
2\pi\,\delta\pars{\omega_{k} - \Delta}\,\wt{\alpha}_{+}\pars{t}
\end{align*}
Ec. \eqref{apuntoa} se reduce a
$$
\dot{\wt{\alpha}}_{+}\pars{t}
= -\,\half\,\Gamma\,\,\wt{\alpha}_{+}\pars{t}\,,\qquad
\Gamma
\equiv 4\pi{\cal V}^{2}\sum_{k}\omega_{k}\sen^{2}\pars{kZ}
\delta\pars{\omega_{k} - \Delta}
$$
Esta expresión muestra el decaimiento del estado excitado
$\ket{+}$ hacía el estado fundamental $\ket{-}$.
$$
\verts{\wt{\alpha}_{+}\pars{t}}^{2}
=
\expo{-\Gamma\pars{t - t_{0}}}
$$
es la probabilidad de que el átomo se encuentre en el estado
excitado $\ket{+}$, en ausencia de fotones, en el
instante $t > t_{0}$. $1/\Gamma$ $\pars{~\mbox{o/y}\ \hbar/\Gamma~}$
es, por definición, el tiempo de vida media y, a su vez, el
coeficiente $A$ de Einstein.
La probabilidad de que en el instante $t \to \infty$ el estado del
sistema consiste
de un fotón con número de onda $k$
y el átomo en el estado fundamental $\ket{-}$ viene dada por
$\lim_{t \to \infty}\verts{\wt{\alpha}_{k}\pars{t}}^{2}$.
$\wt{\alpha}_{k}\pars{t}$ se evalua con ( ver Ec.
\eqref{ecintalphamas} )
\begin{align*}
\lim_{t \to \infty}\wt{\alpha}_{k}\pars{t}
& \approx
\ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}
\int_{t_{0}}^{\infty}\exp\pars{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}t'}
\bracks{%
\wt{\alpha}_{+}\pars{t_{0}}\expo{-\Gamma\pars{t' - t_{0}}/2}}\,\dd t'
\\[3mm]&=
\ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\wt{\alpha}_{+}\pars{t_{0}}
\expo{\Gamma t_{0}/2}\int_{t_{0}}^{\infty}\exp\pars{%
\braces{-\,\half\,\Gamma + \ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}}t'}
\,\dd t'
\\[3mm]&=
-\ic{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\wt{\alpha}_{+}\pars{t_{0}}
{\exp\pars{\braces{\ic\bracks{\omega_{k} - \Delta}}t_{0}}
\over -\Gamma/2 + \ic\pars{\omega_{k} - \Delta}}
\end{align*}
Dada la aproximación de Weisskopf-Wigner, este resultado es
una aproximación al resultado exacto.
\begin{equation}
\lim_{t \to \infty}\verts{\wt{\alpha}_{k}\pars{t}}^{2}
\propto
\half\,{4\pi{\cal V}^{2}\omega_{k}\sen^{2}\pars{kZ} \over \Gamma}\,
{\Gamma/\pars{2\pi} \over
\pars{\omega_{k} - \Delta}^{2} + \pars{\Gamma/2}^{2}}\
{\Large\mbox{$\propto$}}\
\begin{array}{|c|} \hline
\\
{\ds{\Gamma/\pars{2\pi}} \over
\ds{\pars{\omega_{k} - \Delta}^{2} + \pars{\Gamma/2}^{2}}}
\\ \\ \hline
\end{array}
\label{probfoton1k}
\end{equation}
Esta expresión muestra que un fotón con energía
$\omega_{k} = \Delta$ $\pars{~\mbox{o/y}\ \hbar\omega_{k}~}$ es el
candidato mas probable a ser emitido cuando ocurre el decaimiento.
En particular, las emisiones mas probables ocurren en el rango
$\Delta - \Gamma/2 \lesssim \omega_{k} \lesssim \Delta + \Gamma/2$. Es
decir en un rango $\sim \Gamma$ alrededor de
$\omega_{k} = \Delta$.
En este sentido, se dice
que la interacción
átomo-radiación provoca una incertidumbre
$\Delta E$
de la diferencia de niveles $\Delta$ del orden de $\Gamma$
( no confundir con el Principio de Incertidumbre de
Heisenberg ):
$$
\Delta E \sim \Gamma
\qquad\imp\qquad
\Gamma^{-1}\Delta E \sim 1\quad
\pars{~\mbox{o/y}\quad
\Delta E\,{\hbar \over \Gamma} \sim \hbar~}
$$