Estudiaremos un modelo simple, similar en algunos aspectos al
presentado en la sección
Dos Conductores.
Consiste de dos reservorios electrónicos
( electrones con spin ) $L$ y $R$
interconectados a través de una gota cuántica $GC$
( con dos estados de spin ) como indica la figura siguiente:
Ilustración de una gota cuántica $\pars{~GC~}$ conectada
a dos reservorios de electrones con spin
$\pars{~L\ \mbox{y}\ R~}$ bajo la acción de los potenciales
eléctricos $V_{L}$, $V_{R}$, respectivamente, y $V_{G}$.
$V \equiv V_{R} - V_{L}$. Los reservorios y la gota cuántica se
interactuan a través de la interacción
spin-órbita
$\quad\propto \vec{\sigma}\cdot\bracks{-\nabla{\rm U}\pars{\vec{r}}}
\times\bracks{-\ic\hbar\nabla}$. ${\rm U}\pars{\vec{r}}$ es el potencial de interacción entre los reservorios y la gota cuántica.
La forma particular de la interacción es particularmente adecuada
para ilustrar el Flujo de Spin Electrónico.
Obviaremos muchos detalles puesto que ellos pueden ser consultados en la
sección Dos
Conductores.
En la expresión siguiente, $\ket{\sigma}$'s son
spinores: $\ds{\ket{+} \equiv \ket{+1} \equiv {1 \choose 0}\quad}$ y
$\ds{\quad\ket{-} \equiv \ket{-1} \equiv {0 \choose 1}}$.
$\Omega$ es el volumen del sistema, $a_{\eta\vec{k}\sigma}$'s y
$b_{\sigma}$'s son operadores asociados a los reservorios y a la gota
cuántica, respectivamente. $\vec{\sigma}$ es el operador de spin
del electrón. $\Phi\pars{\vec{r}}$ es la función de
onda de un electrón en la gota cuántica. Ver
Dos Conductores.
En segunda cuantización, el acoplamiento spin-órbita
mencionado arriba es proporcional a
El hamiltoniano $H$ del sistema viene dado por
$H = H_{0} - eN_{L}V_{L} - eN_{R}V_{R} - enV_{G}$ donde
$\pars{~\mbox{ver expresión}\ \eqref{fgsoFSE}~}$
Consideramos al hamiltoniano $H$ como un modelo de prueba
( toy model ) o/y hamiltoniano modelo para ilustrar
el flujo de spin electrónico a lo largo del sistema.
El Operador Spin Total $\vec{S}_{\eta}$
$\pars{~\mbox{del reservorio}\ \eta = L, R~}$ viene dado por
$$
\vec{S}_{\eta} =
\sum_{\vec{k} \atop \sigma\sigma'}
\vec{\sigma}_{\sigma\sigma'}a_{\eta\vec{k}\sigma}\+a_{\eta\vec{k}\sigma'}
\,,\qquad
\vec{\sigma}_{\sigma\sigma'} \equiv \eofm{\sigma}{\vec{\sigma}}{\sigma'}
$$
tal que el Operador Flujo de Spin Electrónico
$\vec{{\cal F}}_{S_{\eta}}\pars{t}$ desde el reservorio $\eta$
hacia la gota cuántica $GC$ viene dado por
$\vec{{\cal F}}_{S_{\eta}}\pars{t} = -\dd\vec{S}_{\eta}\pars{t}/\dd t$.
$\vec{{\cal F}}_{S_{\eta}}\pars{t}$, en el instante $t$, viene dado por
Introduzcamos las funciones de Green-Keldysh
${\rm F}_{\eta\vec{k} \atop \sigma\sigma'}^{> \atop <}:
\pars{t_{0},\infty} \to {\mathbb C}$:
$$
{\rm F}_{\eta\vec{k} \atop \sigma\sigma'}^{>}\pars{t,t'}
\equiv -\ic\angles{a_{\eta\vec{k}\sigma}\pars{t}b_{\sigma'}\+\pars{t'}}\,,
\qquad
{\rm F}_{\eta\vec{k} \atop \sigma\sigma'}^{<}\pars{t,t'}
\equiv \ic\angles{b_{\sigma'}\+\pars{t'}a_{\eta\vec{k}\sigma}\pars{t}}
$$
tal que la función de Green-Keldysh
${\rm F}_{\eta\vec{k} \atop \sigma\sigma'}$ sobre el contorno de Keldysh
$\ck$ viene dada por
\begin{align}
{\rm F}_{\eta\vec{k} \atop \sigma\sigma'}\pars{t,t'} & =
-\ic\Theta\pars{t,t'}
\angles{a_{\eta\vec{k}\sigma}\pars{t}b_{\sigma'}\+\pars{t'}} +
\ic\Theta\pars{t',t}
\angles{b_{\sigma'}\+\pars{t'}a_{\eta\vec{k}\sigma}\pars{t}}
\nonumber
\\[3mm] & \equiv
-\ic\angles{\tk a_{\eta\vec{k}\sigma}\pars{t}b_{\sigma'}\+\pars{t'}}
\label{defFekssFSE}
\end{align}
La expresión \eqref{resfseFSE} se reduce a
\begin{equation}
\angles{\vec{{\cal F}}_{S_{\eta}}\pars{t}} =
-\,{2 \over \hbar}\,\Re\sum_{\vec{k} \atop \sigma\sigma'}
\vec{k}\times\vec{\cal V}_{\vec{k}}^{*}\cdot
\eofm{\sigma'}{\vec{\sigma}\vec{\sigma}}{\sigma}
{\rm F}_{\eta\vec{k} \atop \sigma\sigma'}^{<}\pars{t,t}
\label{FSconFmeFSE}
\end{equation}
Si introducimos la matriz $\mat{F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$, tal que
$\eofm{\sigma}{\mat{F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}}{\sigma'} =
{\rm F}_{\eta\vec{k} \atop \sigma\sigma'}\pars{t,t'}$, la
expresión anterior se reduce a
\begin{equation}
\angles{\vec{{\cal F}}_{S_{\eta}}\pars{t}} =
-\,{2 \over \hbar}\,\Re\sum_{\vec{k}}
\vec{k}\times\vec{\cal V}_{\vec{k}}^{*}\cdot
\trace\pars{\vec{\sigma}\vec{\sigma}\,\mat{F}_{\eta\vec{k}}^{<}\pars{t,t}}
\end{equation}
donde la traza se evalua sobre el espacio generado por los
spinores $\ket{\pm}$.
La función de Green-Keldysh \eqref{defFekssFSE} satisface la
ecuación de movimiento
$$
\ic\,\partiald{{\rm F}_{\eta\vec{k} \atop \sigma\sigma'}\pars{t,t'}}{t}\
=\ \ob{\delta\pars{t,t'}%
\angles{\braces{a_{\eta\vec{k}\sigma}\pars{t},b_{\sigma'}\+\pars{t'}}}}
{\ds{=\ 0}}\ -\
\ic\angles{\tk\bracks{a_{\eta\vec{k}\sigma}\pars{t},H},
b_{\sigma'}\+\pars{t'}}
$$
Con la identidad \eqref{conmuaH} se obtiene
donde
\begin{equation}
{\rm G}_{\sigma\sigma'}\pars{t,t'} \equiv
-\ic\angles{\tk b_{\sigma}\pars{t}b_{\sigma'}\+\pars{t'}}
\label{defGsspttpFSE}
\end{equation}
Ec. \eqref{ecuFGFSE} puede ser reescrita en forma integral:
\begin{align}
\angles{\vec{{\cal F}}_{S_{\eta}}\pars{t}} & =
-\,{2 \over \hbar}\,\Re\sum_{\vec{k} \atop \sigma\sigma'}
\vec{k}\times\vec{\cal V}_{\vec{k}}^{*}\cdot
\eofm{\sigma'}{\pars{\vec{\sigma}\vec{\sigma}}\vec{\sigma}}{\sigma}
\cdot\vec{k}\times\vec{\cal V}_{\vec{k}}
\nonumber
\\[3mm] &
\int_{t_{0}}^{\infty}\bracks{%
{\rm g}_{\eta\vec{k}}^{\rm\pars{r}}\pars{t,t'}
{\rm G}_{\sigma\sigma'}^{<}\pars{t',t}
+
{\rm g}_{\eta\vec{k}}^{<}\pars{t,t'}
{\rm G}_{\sigma\sigma'}^{\rm\pars{a}}\pars{t',t}}\,\dd t'
\label{fscongFSE}
\end{align}
El flujo de spin electrónico es expresado en términos de
funciones de Green-Keldysh asociadas a la gota cuántica
$GC$. $t_{0}$ es el instante inicial.
El próximo paso es dedicado a la evaluación de
${\rm G}_{\sigma\sigma'}\pars{t,t'}$
$\pars{~\mbox{ver definición}\ \eqref{defGsspttpFSE}~}$.
${\rm G}_{\sigma\sigma'}\pars{t,t'}$ satisface
Note que ${\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ es una función par
de la variable $\vec{k}$. Ello nos permite realizar unas simplificaciones
al evaluar $\Sigma_{\sigma\sigma'}\pars{t,t'}$. Note que
\begin{align}
& \vec{k}\times\vec{\cal V}_{\vec{k}}^{*}\cdot
\eofm{\sigma}{\vec{\sigma}\vec{\sigma}}{\sigma'}
\cdot\vec{k}\times\vec{\cal V}_{\vec{k}} =
\sum_{ij}\pars{\vec{k}\times\vec{\cal V}_{\vec{k}}^{*}}_{i}
\eofm{\sigma}{\sigma_{i}\sigma_{j}}{\sigma'}
\pars{\vec{k}\times\vec{\cal V}_{\vec{k}}}_{j}
\nonumber
\\[3mm] & =
\sum_{ij}\pars{%
\sum_{\ell m}\epsilon_{\ell mi}k_{\ell}{\cal V}^{*}_{\vec{k}m}}
\eofm{\sigma}{\sigma_{i}\sigma_{j}}{\sigma'}
\pars{\sum_{\ell' m'}\epsilon_{\ell' m'j}k_{\ell'}{\cal V}_{\vec{k}m'}}
\nonumber
\\[3mm] & =
\sum_{ij}\eofm{\sigma}{\sigma_{i}\sigma_{j}}{\sigma'}
\sum_{mm'}{\cal V}^{*}_{\vec{k}m}{\cal V}_{\vec{k}m'}
\sum_{\ell\ell'}\epsilon_{\ell mi}\epsilon_{\ell' m'j}
\pars{k_{\ell}k_{\ell'}}
\label{partialapproxFSE}
\end{align}
Reemplazaremos $\left.\large 1 \right)$ los factores
${\cal V}^{*}_{\vec{k}m}$ y ${\cal V}_{\vec{k}m'}$ por variables
( un promedio adecuado $\ol{\cdots}$ de $\cdots$ que
definiremos mas adelante ) independientes de
$\vec{k}$: ${\cal V}^{*}_{\vec{k}m} \to {\cal V}^{*}_{m}$
y
${\cal V}_{\vec{k}m'} \to {\cal V}_{m'}$.
$\left.\large 2\right)$ Posteriormente suponemos que los espectros
de excitaciones libres de los reservorios son isotrópicos: