Formalismo de Keldysh

Funciones de Green-Keldysh

El propósito del Formalismo de Keldysh es la evaluación de funciones de correlación de operadores, en la representación de Heisenberg, en términos de un formalismo que involucra funciones de Green. Ello provee un tratamiento sistemático de la evaluación de funciones de correlación en función del tiempo, dadas las condiciones iniciales del sistema. Tales funciones de correlación son promedios de uno o mas operadores, en la representación de Heisenberg, y en general a diferentes instantes de tiempo. La implementación sistemática de esta tarea involucra un conjunto de funciones denominadas funciones de Green-Keldysh.

Consideremos un sistema físico cuyo estado inicial, en el instante $t_{0}$, es conocido. Es decir, la matriz densidad $\rho\pars{t_{0}}$ en el instante inicial $t_{0}$ está completamente determinada. Nuestro propósito es determinar la conducta del sistema en instantes de tiempo $t > t_{0}$. Estamos interesados, en general, en evaluaciones del tipo $\angles{A\pars{t}B\pars{t'}}$ y/o evaluación simultanea de $\angles{A\pars{t}B\pars{t'}}$ y $\angles{B\pars{t'}A\pars{t}}$.

Sin embargo, estableceremos una serie de definiciones generales sin relación alguna a las funciones de correlación mencionadas arriba. Estas son:

• ${\rm G}^{>}$  y  ${\rm G}^{<}$: Funciones de Green-Keldysh Mayor y Menor, respectivamente
  
  Consideremos el par de funciones ${\rm G}^{>}$ y ${\rm G}^{<}$ tales que $$ {\rm G}^{>\atop<}:\pars{t_{0},\infty}^{\ 2} \to {\mathbb C} $$ En las aplicaciones que veremos en las secciones siguientes, ${\rm G}^{> \atop <}$ son proporcionales a funciones de correlación de operadores a, en general, diferentes instantes de tiempo. Por ello, ${\rm G}^{>\atop<}$ constituyen nuestros objetos principales de estudio. En el desarrollo del formalismo puede observarse que ello requiere la introducción de funciones de Green adicionales como se explica mas abajo. El origen de los superíndices $>$ y $<$ será claro una vez que usemos ${\rm G}^{>\atop<}$ para introducir las funciones de Green sobre el contorno de Keldysh ${\rm C_{K}}$.
• ${\rm G}$: Función de Green-Keldysh ( sobre el contorno de Keldysh $\ck$ )
  
  A continuación introducimos la función de Green-Keldysh ${\rm G}$ cuyo dominio de definición es el contorno de Keldysh ${\rm C_{K}}$. ${\rm G}:{\rm C_{K}} \to {\mathbb C}$ tal que \begin{equation} {\rm G}\pars{t,t'} \equiv \left\lbrace% \begin{array}{lcl} \Theta\pars{t,t'}{\rm G}^{>}\pars{t,t'} + \Theta\pars{t',t}{\rm G}^{<}\pars{t,t'}\,, & \mbox{si} & t\ \not=_{\rm K}\ t' \\[3mm] {\rm G}^{<}\pars{t,t}\,, & \mbox{si} & t\ =_{\rm K}\ t' \end{array}\right. \label{deffgk} \end{equation} Note que ${\rm G}\pars{t,t'}$ coincide con ${\rm G}^{>}\pars{t,t'}$ cuando $t >_{\rm K} t'$ y con ${\rm G}^{<}\pars{t,t'}$ cuando $t <_{\rm K} t'$. Por estas razones se denomina a ${\rm G}^{>}$ como la función de Green-Keldysh Mayor y a ${\rm G}^{<}$ como la función de Green-Keldysh Menor. Ello explica la introducción, por razones pnemotécnicas, de los superíndices $^{>}$ y $^{<}$ en el parágrafo anterior.
  
  Note que, por ejm, funciones arbitrarias como $\fermi\pars{t}$ o ${\rm g}\pars{t,t'}$ pueden ser expresadas trivialmente en la forma \eqref{deffgk}: $$ \fermi\pars{t} = \Theta\pars{t,t'}\fermi\pars{t} + \Theta\pars{t',t}\fermi\pars{t}\,, \qquad {\rm g}\pars{t,t'} = \Theta\pars{t,t'}{\rm g}\pars{t,t'} + \Theta\pars{t',t}{\rm g}\pars{t,t'} $$ donde hemos usado la identidad $\Theta\pars{t,t'} + \Theta\pars{t',t} = 1$

Funciones mayor y menor asociadas a algunas combinaciones de funciones de la forma \eqref{deffgk} pueden ser expresadas como combinaciones de funciones mayor y menor asociadas a las funciones involucradas en las combinaciones mencionadas arriba. Por ejm \begin{eqnarray*} \bracks{\sum_{i}{\rm G_{i}}\pars{t,t'}}^{> \atop <} & = & \sum_{i}{\rm G_{i}}^{> \atop <}\pars{t,t'} \\[5mm] \bracks{A\pars{t,t'} + B\pars{t',t}}^{> \atop <} & = & A\pars{t,t'}^{> \atop <} + B\pars{t',t}^{< \atop >} \\[5mm] \bracks{A\pars{t,t'}B\pars{t,t'}}^{> \atop <} = A\pars{t,t'}^{> \atop <}B\pars{t,t'}^{> \atop <}\,, && \bracks{A\pars{t,t'}B\pars{t',t}}^{> \atop <} = A\pars{t,t'}^{> \atop <}B\pars{t',t}^{< \atop >} \\[5mm]&&\mbox{etc...} \end{eqnarray*} donde hemos usado las identidades $\Theta\pars{t,t'} + \Theta\pars{t',t} = 1$, $\Theta^{2}\pars{t,t'} = \Theta\pars{t,t'}$ y $\Theta\pars{t,t'}\Theta\pars{t',t} = 0$.

Sin embargo, una combinación importante, la cual ocurre frecuentemente, es la convolución $C$ de dos funciones de Green-Keldysh $A$ y $B$: Por ejemplo, una convolución ocurre de forma natural cuando una ecuación diferencial es reescrita como una ecuación integral.

Consideremos

\begin{equation} {\rm C}\pars{t,t'} =\ \oint_{\ck}\dd t''\,{\rm A}\pars{t,t''}{\rm B}\pars{t'',t'} \label{defConvoCK} \end{equation} tal que ${\rm C}^{> \atop <}$ involucran a ${\rm A}^{> \atop <}$, ${\rm B}^{> \atop <}$ y requieren un par de nuevas funciones que se denominan funciones de Green-Keldysh retardadas, denotadas con el superíndice $^{\rm\pars{r}}$, y avanzadas, denotadas con el superíndice $^{\rm\pars{a}}$. A su vez, ${\rm C^{\pars{r} \atop \pars{a}}}$ solo involucran a ${\rm A^{\pars{r} \atop \pars{a}}}$ y ${\rm B^{\pars{r} \atop \pars{a}}}$:

• ${\rm G^{\pars{r}}}$ y ${\rm G^{\pars{a}}}$: Funciones de Green-Keldysh Retardada y Avanzada, respectivamente
  
  ${\rm G^{\pars{r} \atop \pars{a}}}: \pars{t_{0},\infty}^{\ 2}\verb* \ * \braces{\pars{t,t}\ \ni t \in {\mathbb R}} \to {\mathbb C}\quad$ donde \begin{align} {\rm G^{\pars{r}}}\pars{t,t'} & \equiv \phantom{-}\Theta\pars{t - t'}\bracks{% {\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'}} \\[3mm] {\rm G^{\pars{a}}}\pars{t,t'} & \equiv -\Theta\pars{t' - t}\bracks{% {\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'}} \end{align} Note que \begin{align} {\rm G^{\pars{r}}}\pars{t,t'} - {\rm G^{\pars{a}}}\pars{t,t'} &= {\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'}\,, \quad t \not= t' \label{difgrga} \\ {\rm G^{\pars{r}}}\pars{t,t^{-}} - {\rm G^{\pars{a}}}\pars{t,t^{+}} &= {\rm G}^{>}\pars{t,t} - {\rm G}^{<}\pars{t,t} \nonumber \end{align} donde se supone la validez de los límites ${\rm G}^{>}\pars{t,t} - {\rm G}^{<}\pars{t,t} = \lim_{t' \to t^{\pm}}\bracks{% {\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'}}$