En secciones anteriores estudiamos el comportamiento de
$\angles{n\pars{t}}$ $\pars{~n \equiv b\+b~}$ cuando la condición
inicial se impone en $t_{0} \to -\infty$: El tiempo transcurrido
desde el instante inicial $t_{0} \to -\infty$ hasta cualquier instante de
tiempo finito $t$ tiende a $+\infty$ tal que el sistema alcanza una
situación estacionaria ( independiente del
tiempo ) lo cual es una conducta particular del sistema en estudio
y, tal conducta, es derivada rigurosamente a partir del
formalismo de Keldysh.
$t_{0} = 0$ es el instante inicial tal que el intervalo de tiempo
transcurrido hasta un instante de tiempo finito $t$ es
finito.
Note que $A = A\pars{0}$ donde $A$ es un operador y $A\pars{t}$ es
su representación de Heisenberg.
$\rho\pars{0}$ es la matriz densidad en el instante
inicial.
El objeto de la presente sección es derivar la dependencia
temporal de $\angles{n\pars{t}}$ desde diferentes puntos de vista
los cuales enumeramos a continuación.
Ecuaciones de Heisenberg
$$
\ic\,\totald{b\pars{t}}{t} = \bracks{b\pars{t},H} =
\xi b\pars{t} +
{\cal V}\sum_{\eta\vec{k}}a_{\eta\vec{k}}\pars{t}
$$
Evaluando la Transformada de Laplace en ambos miembros de esta
ecuación se obtiene:
\begin{equation}
\pars{s + \xi\,\ic}b\pars{s}\ =\ \ob{b}{\ds{b\pars{t = 0}}}\ -\
\ic{\cal V}\sum_{\eta\vec{k}}a_{\eta\vec{k}}\pars{s}
\label{dbdtvsaetak0}
\end{equation}
Similarmente,
$$
\ic\,\totald{a_{\eta\vec{k}}\pars{t}}{t} =
\bracks{a_{\eta\vec{k}}\pars{t},H} =
\xi_{\eta\vec{k}}a_{\eta\vec{k}}\pars{t} +
{\cal V}b\pars{t}
$$
$$
\pars{s + \xi_{\eta\vec{k}}\,\ic}a_{\eta\vec{k}}\pars{s}\ =\
\ob{a_{\eta\vec{k}}}{\ds{a_{\eta\vec{k}}\pars{t = 0}}}\ -\
\ic{\cal V}b\pars{s}
$$
\begin{equation}
a_{\eta\vec{k}}\pars{s} =
{a_{\eta\vec{k}} \over s + \xi_{\eta\vec{k}}\ic} -
\ic{\cal V}\,{b\pars{s} \over s + \xi_{\eta\vec{k}}\ic}
\label{aetakvsbt0}
\end{equation}
Reemplazando la expresión \eqref{aetakvsbt0} en la Ec.
\eqref{dbdtvsaetak0}:
\begin{align*}
\pars{s + \xi\,\ic}b\pars{s} & =
b -\ic{\cal V}\sum_{\eta\vec{k}}
{a_{\eta\vec{k}} \over s + \xi_{\eta\vec{k}}\,\ic} -
\pars{{\cal V}^{2}\sum_{\eta\vec{k}}
{1 \over s + \xi_{\eta\vec{k}}\,\ic}}b\pars{s}
\end{align*}
\begin{align}
b\pars{s} & = {b \over s + \xi\,\ic +
{\cal V}^{2}\sum_{\eta'\vec{k}'}
{1 \over s + \xi_{\eta'\vec{k}'}\,\ic}}
\nonumber
\\[3mm] & \mbox{}
-\ic\,{{\cal V} \over
s + \xi\,\ic + {\cal V}^{2}\sum_{\eta'\vec{k}'}
{1 \over s + \xi_{\eta'\vec{k}'}\,\ic}}
\sum_{\eta\vec{k}}{a_{\eta\vec{k}} \over s + \xi_{\eta\vec{k}}\,\ic}
\label{bsexacta0BB}
\end{align}
En la Aproximación de Banda Ancha ( ver
Solo un Conductor
( El Límite de Banda Ancha ) ), la suma
en los denominadores se reduce a:
\begin{align}
\sum_{\eta'\vec{k}'}{1 \over s + \xi_{\eta'\vec{k}'}\,\ic}
& = \sum_{\eta'}\dos_{\eta'}\pars{0}
\int_{-\infty}^{\infty}{\dd\xi \over s + \xi\,\ic}
= \sum_{\eta'}\dos_{\eta'}\pars{0}
\int_{-\infty}^{\infty}{s \over \xi^{2} + s^{2}}\,\dd\xi
\nonumber
\\[3mm]
= \pi\sum_{\eta'}\dos_{\eta'}\pars{0}
\label{approxBA89765}
\end{align}
El resultado \eqref{bsexacta0BB} se reduce a
\begin{align}
b\pars{s} & = {b \over s + \xi\,\ic + \Gamma}
-\ic\,{{\cal V} \over s + \xi\,\ic + \Gamma}
\sum_{\eta\vec{k}}{a_{\eta\vec{k}} \over s + \xi_{\eta\vec{k}}\,\ic}
\\ & \mbox{con}\
\Gamma \equiv \sum_{\eta}\Gamma_{\eta}\,,\quad
\Gamma_{\eta} \equiv \pi{\cal V}^{2}\dos_{\eta}\pars{0}
\end{align}
\begin{align}
b\pars{t} & = \int_{0^{+} - \infty\ic}^{0^{+} + \infty\ic}
b\pars{s}\expo{st}\,{\dd s \over 2\pi\ic} =
b\int_{0^{+} - \infty\ic}^{0^{+} + \infty\ic}
{\expo{st} \over s + \xi\,\ic + \Gamma}\,{\dd s \over 2\pi\ic}
\nonumber
\\[3mm] & \mbox{} -\ic{\cal V}\sum_{\eta\vec{k}}
{a_{\eta\vec{k}} \over \pars{\xi - \xi_{\eta\vec{k}}}\ic + \Gamma}
\times
\nonumber
\\[3mm] & \mbox{}
\bracks{%
\int_{0^{+} - \infty\ic}^{0^{+} + \infty\ic}
{\expo{st} \over s + \xi_{\eta\vec{k}}\,\ic}\,{\dd s \over 2\pi\ic}
-
\int_{0^{+} - \infty\ic}^{0^{+} + \infty\ic}
{\expo{st} \over s + \xi\,\ic + \Gamma}\,{\dd s \over 2\pi\ic}}\,,
\quad t > 0
\end{align}
\begin{equation}
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
b\pars{t} & = & b\expo{-\ic\xi t}\expo{-\Gamma t} +
{\cal V}\sum_{\eta\vec{k}}
{a_{\eta\vec{k}} \over \xi_{\eta\vec{k}} - \xi + \Gamma\,\ic}
\pars{\expo{-\ic\xi_{\eta\vec{k}}t} -
\expo{-\ic\xi t}\expo{-\Gamma t}}
\\[1mm]
b\+\pars{t} & = & b\+\expo{\ic\xi t}\expo{-\Gamma t} +
{\cal V}\sum_{\eta\vec{k}}
{a_{\eta\vec{k}}\+ \over \xi_{\eta\vec{k}} - \xi - \Gamma\,\ic}
\pars{\expo{\ic\xi_{\eta\vec{k}}t} -
\expo{\ic\xi t}\expo{-\Gamma t}}
\end{array}\right.
\end{equation}
$\ds{1 \over \Gamma}$ $\ds{\pars{~\mbox{0/y}\
{\hbar \over \Gamma}~}}$ es una escala de tiempo que
determina la rapidez con que el sistema se encuentra en
las inmediaciones del estado estacionario.
Imagine una configuración inicial donde solo existe
un electrón con momentum $\vec{p}$, y energía
$\epsilon_{R\vec{p}}$, en uno de los reservorios ( por ejemplo, el
reservorio $R$ ) mientras el otro ( el reservorio $L$ )
está vacío. El
$\color{brown}{\mbox{círculo marrón}}$
ilustra al
electrón solitario. Ver la sección
Dos Conductores.
$$
\angles{a_{\eta\vec{k}}\+\pars{0}a_{\eta'\vec{k}'}\pars{0}} =
\delta_{\eta\eta'}\delta_{\eta R}\delta_{\vec{k}\vec{k}'}
\delta_{\vec{k}\vec{p}}
\,,\qquad
\angles{b\+\pars{0}a_{\eta\vec{k}}\pars{0}} = 0
$$
En tal caso, $\angles{n\pars{t}}$ viene dado por ( ver
expresión \eqref{nvstexacta0001} ):
En unidades adimensionales:
$$
\angles{n\pars{0}} = 0\,,\quad
\Gamma = 0.1\,,\quad
\delta = 1.0\,,\quad
\omega \equiv \epsilon_{R\vec{p}} - E = 1
$$
Com estos parámetros: $\ds{\angles{n\pars{\infty}}
= \delta\,{\Gamma/\pi \over \omega^{2} + \Gamma^{2}}
\approx 0.0315}$.
La data de la figura es generada por el programa, en
C++, gotaC_0.cc ( ver
Apéndice
Utilidades ). Cuando $\omega = 0$
( resonancia ) las oscilaciones desaparecen y se
observa un decaimiento hacía la solución estacionaria.
Ecuaciones de Kadanoff-Baym
En esta sección estudiaremos las ecuaciones de Kadanoff-Baym
( ver Bibliografía ) con
el propósito de estudiar una ecuación de movimiento
para $\angles{n\pars{t}}$. Para ello es conveniente usar la
Conservación del Número de Partículas
$\ds{\dd\angles{n\pars{t}}/\dd t =
-\,\pars{1/e}\,\sum_{\eta}\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}}$.
Ver
expresión para $\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}$.
La transformada de Fourier de $\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{t}$
viene dada por
$ {\cal V}^{2}\sum_{\vec{k}}
\pars{\omega - \xi_{\eta\vec{k}} + \ic 0^{+}}^{-1}$ la cual se
reduce en el límite de banda ancha a
\begin{equation}
-\ic\pi{\cal V}^{2}\dos_{\eta}\pars{0} = -\ic\Gamma_{\eta}
\quad\mbox{tal que}\quad
\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{t} = -\ic\Gamma\delta\pars{t}
\label{lbaSr451789}
\end{equation}
Este resultado conduce, con la Ec. \eqref{IvsGttprima000}, a
\begin{equation}
\totald{\angles{n\pars{t}}}{t} + 2\Gamma\angles{n\pars{t}} =
-2\,\Re\int_{0}^{\infty}
\Sigma^{<}\pars{t - t'}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t',t}\,\dd t'\,,
\quad\hbar = 1
\label{nvstparcial96728876}
\end{equation}
${\rm G^{\rm\pars{a}}}\pars{t,t'}$
satisface la
ecuación diferencial
$$
\pars{\ic\,\partiald{}{t} - \xi}{\rm G^{\rm\pars{a}}}\pars{t,t'} =
\delta\pars{t - t'} +
\int_{0}^{\infty}\Sigma^{\pars{a}}\pars{t - t''}
{\rm G^{\pars{a}}}\pars{t'',t'}\,\dd t''
$$
puesto que
${\rm g^{\rm\pars{a}}}\pars{t} = \ic\Theta\pars{-t}\expo{-\ic\xi t}$
satisface
$\pars{\ic\,\partial_{t} - \xi}{\rm g^{\rm\pars{a}}}\pars{t} =
\delta\pars{t}$. Similarmente
$\pars{~\mbox{ver} \eqref{lbaSr451789}~}$,
$\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{t} = \ic\Gamma\delta\pars{t}$ en el
límite de banda ancha. ${\rm G^{\rm\pars{a}}}\pars{t,t'}$
satisface la ecuación diferencial
$$
\pars{\ic\,\partiald{}{t} - \xi - \Gamma\,\ic}
{\rm G^{\rm\pars{a}}}\pars{t,t'} = \delta\pars{t - t'}
$$
$$
\imp\quad
{\rm G^{\rm\pars{a}}}\pars{t,t'} =
\ic\Theta\pars{t' - t}\expo{-\ic\pars{\xi + \Gamma\,\ic}\pars{t - t'}}
$$
La Ec. \eqref{nvstparcial96728876} se reduce a la
Ecuación de Langevin
\begin{align}
\totald{\angles{n\pars{t}}}{t} + 2\Gamma\angles{n\pars{t}} & =
{\cal F}\pars{t}
\label{nvstlangevin}
\\
\mbox{donde}\ {\cal F}\pars{t} & \equiv
2\,\Im\int_{0}^{t}
\Sigma^{<}\pars{t'}\expo{\ic\pars{\xi + \Gamma\,\ic}t'}\,\dd t'
\label{flangevin}
\end{align}
Ec. \eqref{nvstlangevin} muestra que $\angles{n\pars{t}}$ tiende
a decaer bajo la acción de los contactos con los reservorios
pero a su vez es afectada por la influencia de ${\cal F}\pars{t}$.
${\cal F}\pars{t}$ es similar a una fuerza al azar
( Random Force ) en la ecuación
original de Langevin y describe una correlación
determinada por los reservorios:
\begin{equation}
\begin{array}{|c|}\hline\mbox{}\\
\angles{n\pars{t}} = \angles{n\pars{0}}\expo{-2\Gamma t}
+ \int_{0}^{t}\expo{-2\Gamma\pars{t - t'}}{\cal F}\pars{t'}\,\dd t'
\\ \hline
\end{array}
\label{nvstfuncF879990}
\end{equation}
$\Sigma^{<}\pars{t}$ viene dada por
$$
\Sigma^{<}\pars{t} = {\cal V}^{2}\sum_{\eta\vec{k}}
\ic\angles{a_{\eta\vec{k}}\+a_{\eta\vec{k}}}_{0}
\expo{-\ic\xi_{\eta\vec{k}}t}\,,\quad
\angles{\cdots}_{0} \equiv \angles{\cdots}_{{\cal V}\ =\ 0} =
\trace\pars{\rho\pars{0}\ldots}_{{\cal V}\ =\ 0}
$$
$\rho\pars{0}$ es la matriz densidad en el instante inicial $t_{0} = 0$.
${\cal F}\pars{t}$ se reduce a $\pars{~\mbox{ver definición}\
\eqref{flangevin}~}$
\begin{align*}
{\cal F}\pars{t} & \equiv
2\,\Im\int_{0}^{t}\bracks{%
{\cal V}^{2}\sum_{\eta\vec{k}}
\ic\angles{a_{\eta\vec{k}}\+a_{\eta\vec{k}}}_{0}
\expo{-\ic\xi_{\eta\vec{k}}t'}}
\expo{\ic\pars{\xi + \Gamma\,\ic}t'}\,\dd t'
\\[3mm] & = 2{\cal V}^{2}\,\Im
\sum_{\eta\vec{k}}\ic
\angles{a_{\eta\vec{k}}\+a_{\eta\vec{k}}}_{0}\int_{0}^{t}
\expo{\ic\bracks{\pars{\xi - \xi_{\eta\vec{k}}} + \Gamma\,\ic}t'}\,\dd t'
\\[3mm] & =
2{\cal V}^{2}\,\Im
\sum_{\eta\vec{k}}\ic
\angles{a_{\eta\vec{k}}\+a_{\eta\vec{k}}}_{0}\,
{\expo{\ic\bracks{\pars{\xi - \xi_{\eta\vec{k}}} + \Gamma\,\ic}t} - 1
\over
\ic\pars{\xi - \xi_{\eta\vec{k}}} - \Gamma}
\end{align*}
\begin{equation}
\begin{array}{|c|}\hline\mbox{} \\
{\cal F}\pars{t} =
2{\cal V}^{2}\,\Im\sum_{\eta\vec{k}}
\angles{a_{\eta\vec{k}}\+a_{\eta\vec{k}}}_{0}\,
{1 - \expo{\ic\pars{\xi - \xi_{\eta\vec{k}}}t}\expo{-\Gamma t}
\over
\xi_{\eta\vec{k}} - \xi - \Gamma\,\ic}
\\ \hline
\end{array}
\label{Fvst564990}
\end{equation}
El lector puede usar los resultados \eqref{nvstfuncF879990} y
\eqref{Fvst564990} para revisar, por ejemplo, algunos casos
límites o/y estudiar numéricamente una
solución general.