Formalismo de Keldysh. F. P. Marin. Fisica. Ciencias. UCV

Átomo + Radiación: Ecuaciones de Movimiento

Uno de los propósitos de esta sección es evaluar la probabilidad $\pp_{+}\pars{t}$ de que el átomo se encuentre en el estado excitado $\ket{+}$, en el instante $t$, la cual viene dada por $\angles{n\pars{t}} = \angles{b\+\pars{t}b\pars{t}} = \pp_{+}\pars{t}$. Ello sugiere la introducción de la función de Green-Keldysh ${\rm G}\pars{t,t'}$:

$$ {\rm G}\pars{t,t'} \equiv -\ic\angles{\tk b\pars{t}b\+\pars{t'}} \equiv -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{b\pars{t}b\+\pars{t'}} -\ic\Theta\pars{t',t}\angles{b\+\pars{t'}b\pars{t}} $$ \begin{align*} \mbox{Note que}& \left\lbrace\begin{array}{rcl} {\rm G}^{<}\pars{t,t'} & = & -\ic\angles{b\+\pars{t'}b\pars{t}} \\[2mm] {\rm G}^{>}\pars{t,t'} & = & -\ic\angles{b\pars{t}b\+\pars{t'}} \end{array}\right. \\[5mm]\mbox{tal que}\ {\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{t,t'} &= \Theta\pars{t - t'} \bracks{{\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'}} =-\ic\Theta\pars{t - t'}\angles{\bracks{b\pars{t},b\+\pars{t'}}} \\[3mm]\mbox{y}\ {\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{t,t^{-}} & \equiv \lim_{t' \to t^{-}}{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{t,t'} =\ic\angles{\sigma_{z}\pars{t}} \\[3mm]\imp\quad& \begin{array}{|c|}\hline\\ \mbox{}\\ \quad\pp_{+}\pars{t} = \half - \half\,\ic\,{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{t,t^{-}}\quad \\ \mbox{}\\ \hline \end{array} \end{align*}

${\rm G}\pars{t,t'}$ satisface la ecuación de movimiento

\begin{equation} \ic\,\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t}\ =\ \ob{\delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{b\pars{t},b\+\pars{t'}}}} {\ds{-\delta\pars{t,t'}\angles{\sigma_{z}\pars{t}}}}\ -\ \ic\angles{\tk\bracks{b\pars{t},H}b\+\pars{t'}} \label{GbbAR} \end{equation} donde $$ H = E_{-} + \Delta\,b\+b + \sum_{k}\pars{a_{k}\+a_{k} + \half}\omega_{k} -{\cal V} \sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\pars{a_{k}\+b + b\+a_{k}}\,,\quad {\cal V} = \raiz{4\pi \over \Omega}\,\wp $$ es el hamiltoniano del Átomo + Radiación ( ver sección anterior ).

Note que

$\bracks{b,H} = \Delta b +{\cal V}\sigma_{z}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}a_{k}\,,\qquad \sigma_{z} = 2n - 1 = 2b\+b - 1$

La Ec. \eqref{GbbAR} se reduce a \begin{align} \pars{\ic\,\partiald{}{t} - \Delta}{\rm G}\pars{t,t'} &= -\delta\pars{t,t'}\angles{\sigma_{z}\pars{t}} + {\cal V}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}{\cal F}_{k}\pars{t,t'} \label{GcompletaAR} \\[3mm] {\cal F}_{k}\pars{t,t'} & = -\ic\angles{\tk\sigma_{z}\pars{t}a_{k}\pars{t}b\+\pars{t'}} \end{align} ${\cal F}_{k}\pars{t,t'}$ satisface \begin{equation} \ic\,\partiald{{\cal F}_{k}\pars{t,t'}}{t} = \delta\pars{t,t'} \angles{\bracks{\sigma_{z}\pars{t}a_{k}\pars{t},b\+\pars{t'}}} -\ic\angles{\tk\bracks{\sigma_{z}\pars{t}a_{k}\pars{t},H}b\+\pars{t'}} \label{ecmoffkttp} \end{equation} con

$$ \bracks{\sigma_{z}a_{k},b\+} = \bracks{\sigma_{z},b\+}a_{k} = 2b\+a_{k} $$

\begin{align} \bracks{\sigma_{z}a_{k},H} & = \sum_{q}\omega_{q}\ \ob{\bracks{\sigma_{z}a_{k},a_{q}\+a_{q}}} {\ds{\delta_{kq}\sigma_{z}a_{k}}} \nonumber \\[3mm] & -{\cal V}\sum_{q}\omega_{q}^{1/2}\sen\pars{qZ}\braces{% \ob{\bracks{\sigma_{z}a_{k},a_{q}\+b}} {\ds{-\delta_{kq}b - 2a_{q}\+ba_{k}}}\ +\ \ob{\bracks{\sigma_{z}a_{k},b\+a_{q}}}{\ds{2b\+a_{q}a_{k}}}} \nonumber \\[5mm] & = \omega_{k}\sigma_{z}a_{k} + {\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}b \nonumber \\[3mm]& \mbox{} + 2{\cal V}\sum_{q}\omega_{q}^{1/2}\sen\pars{qZ}a_{q}\+ba_{k} - 2{\cal V}\sum_{q}\omega_{q}^{1/2}\sen\pars{qZ}b\+a_{q}a_{k} \label{conmumaspro} \end{align}

Con este resultado, Ec. \eqref{ecmoffkttp} satisface \begin{equation} \pars{\ic\,\partiald{}{t} - \omega_{k}}{\cal F}_{k}\pars{t,t'} = 2\delta\pars{t,t'}\angles{b\+\pars{t}a_{k}\pars{t}} + {\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}{\rm G}\pars{t,t'} \label{ecFreduc} \end{equation} donde hemos despreciado los dos últimos términos en la identidad \eqref{conmumaspro}.

$\fermi_{k}\pars{t,t'} \equiv {\cal F}_{k}\pars{t,t'}_{{\cal V}\ =\ 0}$ satisface la ecuación de movimiento

\begin{equation} \pars{\ic\,\partiald{}{t} - \omega_{k}}\fermi_{k}\pars{t,t'} = 0 \label{ecfreduc} \end{equation} puesto que en el estado inicial el átomo se encuentra en el estado excitado $\ket{+}$ en ausencia de fotones: $$ \angles{b\+\pars{t}a_{k}\pars{t}}_{{\cal V}\ =\ 0} = \expo{-\ic\pars{\omega_{k} - \Delta}t}\ \ob{\angles{b\+a_{k}}_{{\cal V}\ =\ 0}}{\ds{=\ 0}}\phantom{AA} =\ 0 $$ \eqref{ecFreduc} y \eqref{ecfreduc} conducen a: $$ \pars{\ic\,\partiald{}{t} - \omega_{k}} \bracks{{\cal F}_{k}\pars{t,t'} - \fermi_{k}\pars{t,t'}} = 2\delta\pars{t,t'}\angles{b\+\pars{t}a_{k}\pars{t}} + {\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}{\rm G}\pars{t,t'} $$ la cual puede reescribirse como la ecuación integral \begin{align*} {\cal F}_{k}\pars{t,t'} & = \fermi_{k}\pars{t,t'} + \oint_{\ck}{\rm g}_{k}\pars{t,t''}\bracks{% 2\delta\pars{t'',t'}\angles{b\+\pars{t''}a_{k}\pars{t''}} + {\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}{\rm G}\pars{t'',t'}}\,\dd t'' \\[3mm] & = \fermi_{k}\pars{t,t'} + {\rm g}_{k}\pars{t,t'}\angles{b\+\pars{t'}a_{k}\pars{t'}} + 2{\cal V}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ} \oint_{\ck}{\rm g}_{k}\pars{t,t''}{\rm G}\pars{t'',t'}\,\dd t'' \end{align*}