Las funciones de Green-Keldysh ${\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ y ${\rm G}\pars{t,t'}$ obedecen las ecuaciones de movimiento
\begin{align*} \ic\,{\partial{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} \over \partial t} & =\ \ob{% \delta\pars{t,t'}\angles{\braces{a_{\eta\vec{k}}\pars{t},b\+\pars{t'}}}} {\ds{=\ 0}}\ -\ \ic\angles{\tk\bracks{a_{\eta\vec{k}}\pars{t},H}b^{\dagger}\pars{t'}} \\[3mm] \ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t} & =\ \ub{% \delta\pars{t,t'}\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t'}}}} {\ds{=\ \delta\pars{t,t'}}}\ -\ \ic\angles{\tk\bracks{b\pars{t},H}b^{\dagger}\pars{t'}} \end{align*} Puesto que $\bracks{a_{\eta\vec{k}},H} = \xi_{\eta\vec{k}}a_{\eta\vec{k}} + V_{\eta\vec{k}}^{*}\,b$ y $\bracks{b,H} = \xi\,b + \sum_{\eta\vec{k}}V_{\eta\vec{k}}\,a_{\eta\vec{k}}$ , estas se reducen a \begin{align} \pars{\ic\,{\partial \over \partial t} - \xi_{\eta\vec{k}}} {\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} & = V_{\eta\vec{k}}^{*}\,{\rm G}\pars{t,t'} \label{FvsG} \\[3mm] \pars{\ic\,{\partial\over \partial t} - \xi}{\rm G}\pars{t,t'} & = \delta\pars{t,t'} + \sum_{\eta\vec{k}}V_{\eta\vec{k}}\,{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} \label{GvsF} \end{align} La ecuación de movimiento \eqref{FvsG} puede ser reescrita en forma integral: Una ecuación integral, sobre el contorno de Keldysh $\ck$, que acopla ${\rm F}_{\eta\vec{k}}$ con ${\rm G}$. \begin{equation} {\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} = \fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} + \oint_{\ck}\dd t''\,{\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t''} V_{\eta\vec{k}}^{*}{\rm G}\pars{t'',t'} \label{FKFuncOFGK} \end{equation} donde \begin{align} \fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} & \equiv \left.{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} \right\vert_{V_{\eta\vec{k}\ =\ 0,\ \forall\ \eta,\,\vec{k}}} = -\ic\angles{\tk\,a_{\eta\vec{k}}\pars{t}b^{\dagger}\pars{t'}}_{0} \\ {\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} & \equiv -\ic\angles{\tk\,a_{\eta\vec{k}}\pars{t} a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}\pars{t'}}_{0} \\ \angles{\cdots}_{0} & \equiv \angles{\cdots}_{V_{\eta\vec{k}} = 0,\ \forall\ \eta,\vec{k}} \nonumber \\ \end{align} $\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ y ${\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ satisfacen las ecuaciones de movimiento $\pars{\ic\,\partial_{t} - \xi_{\eta\vec{k}}} \fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} = 0\ $ e $ \pars{\ic\,\partial_{t} - \xi_{\eta\vec{k}}} {\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} = \delta\pars{t,t'}$. El lector podrá advertir que la aplicación a ambos miembros de \eqref{FKFuncOFGK}, por la izquierda, del operador $\pars{\partial_{t} - \xi_{\eta\vec{k}}}$ reproduce la Ec. \eqref{FvsG}.Note que $\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} \not= 0$ solo si $\angles{a_{\eta\vec{k}}b^{\dagger}}_{0} \not= 0$ lo cual solo puede ocurrir bajo una condición inicial muy particular. Por estas razones omitimos $\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ en estas breves notas. En consecuencia, las reglas de Langreth conducen, a partir de \eqref{FKFuncOFGK}, a
\begin{equation} {\rm F}_{\eta\vec{k}}^{<}\pars{t,t'} = V_{\eta\vec{k}}^{*}\int_{t_{\rm 0}}^{\infty}\dd t''\,\bracks{% {\rm g}_{\eta\vec{k}}^{\rm\pars{r}}\pars{t,t''}{\rm G}^{<}\pars{t'',t'} + {\rm g}_{\eta\vec{k}}^{<}\pars{t,t''}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t'',t'}} \end{equation} Reemplazando este resultado en la expresión para $\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}$ se obtiene