$\newcommand{\+}{^{\dagger}}\newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}\newcommand{\bose}{\,{\rm n}}\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right\vert}\newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}\newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}\newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \vert #2 \right\rangle}\newcommand{\braketi}[2]{\left.\left\langle #1 \right\vert #2 \right\rangle}\newcommand{\braketd}[2]{\left\langle #1 \left\vert #2 \right\rangle\right.}\newcommand{\ck}{{\rm C_{K}}}\newcommand{\dd}{{\rm d}}\newcommand{\dos}{\,{\cal D}}\newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}\newcommand{\eofm}[3]{\left\langle #1 \left\vert #2 \right\vert #3 \right\rangle}\newcommand{\expo}[1]{{\rm e}^{#1}}\newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}\newcommand{\fvec}[1]{\,\vec{\rm #1}}\newcommand{\half}{{1 \over 2}}\newcommand{\ic}{{\rm i}}\newcommand{\iff}{\Leftrightarrow}\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}\newcommand{\kb}{{\rm k_{B}}}\newcommand{\kelvin}{\,{\rm K}}\newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1 \right\rangle}\newcommand{\ketbra}[2]{\left\vert #1 \right\rangle\left\langle #2 \right\vert}\newcommand{\mat}[1]{{\sf #1}}\newcommand{\ob}[2]{\overbrace{ #1 }^{#2}}\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}\newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}\newcommand{\partiald}[3][]{{\partial^{#1}#2 \over \partial #3^{#1}}}\newcommand{\pp}{{\cal P}}\newcommand{\raiz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\, {#2}\, }\,}\newcommand{\sen}{\,{\rm sen}}\newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}\newcommand{\ss}[1]{\scriptstyle{#1}}\newcommand{\sss}[1]{\scriptscriptstyle{#1}}\newcommand{\tk}{{\rm T_{K}}}\newcommand{\trace}{{\rm Tr}}\newcommand{\totald}[3][]{{{\rm d}^{#1}#2 \over {\rm d}^{#1}#3}}\newcommand{\ub}[2]{\underbrace{ #1 }_{#2}}\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}\newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}\newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$
Ecuaciones de Movimiento
Las funciones de Green-Keldysh
${\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ y
${\rm G}\pars{t,t'}$ obedecen
las ecuaciones de movimiento
\begin{align*}
\ic\,{\partial{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} \over \partial t}
& =\ \ob{%
\delta\pars{t,t'}\angles{\braces{a_{\eta\vec{k}}\pars{t},b\+\pars{t'}}}}
{\ds{=\ 0}}\ -\
\ic\angles{\tk\bracks{a_{\eta\vec{k}}\pars{t},H}b^{\dagger}\pars{t'}}
\\[3mm]
\ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t}
& =\ \ub{%
\delta\pars{t,t'}\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t'}}}}
{\ds{=\ \delta\pars{t,t'}}}\
-\
\ic\angles{\tk\bracks{b\pars{t},H}b^{\dagger}\pars{t'}}
\end{align*}
Puesto que
$\bracks{a_{\eta\vec{k}},H}
=
\xi_{\eta\vec{k}}a_{\eta\vec{k}}
+
V_{\eta\vec{k}}^{*}\,b$ y
$\bracks{b,H}
=
\xi\,b + \sum_{\eta\vec{k}}V_{\eta\vec{k}}\,a_{\eta\vec{k}}$
, estas se reducen a
\begin{align}
\pars{\ic\,{\partial \over \partial t} - \xi_{\eta\vec{k}}}
{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
& =
V_{\eta\vec{k}}^{*}\,{\rm G}\pars{t,t'}
\label{FvsG}
\\[3mm]
\pars{\ic\,{\partial\over \partial t} - \xi}{\rm G}\pars{t,t'}
& =
\delta\pars{t,t'}
+
\sum_{\eta\vec{k}}V_{\eta\vec{k}}\,{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
\label{GvsF}
\end{align}
La ecuación de movimiento \eqref{FvsG} puede ser reescrita en
forma integral: Una ecuación integral, sobre el contorno de
Keldysh $\ck$, que acopla ${\rm F}_{\eta\vec{k}}$ con ${\rm G}$.
\begin{equation}
{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
=
\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
+
\oint_{\ck}\dd t''\,{\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t''}
V_{\eta\vec{k}}^{*}{\rm G}\pars{t'',t'}
\label{FKFuncOFGK}
\end{equation}
donde
\begin{align}
\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
& \equiv
\left.{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
\right\vert_{V_{\eta\vec{k}\ =\ 0,\ \forall\ \eta,\,\vec{k}}}
=
-\ic\angles{\tk\,a_{\eta\vec{k}}\pars{t}b^{\dagger}\pars{t'}}_{0}
\\
{\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
& \equiv
-\ic\angles{\tk\,a_{\eta\vec{k}}\pars{t}
a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}\pars{t'}}_{0}
\\
\angles{\cdots}_{0}
& \equiv
\angles{\cdots}_{V_{\eta\vec{k}} = 0,\ \forall\ \eta,\vec{k}}
\nonumber
\\
\end{align}
$\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ y ${\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$
satisfacen las ecuaciones de movimiento
$\pars{\ic\,\partial_{t} - \xi_{\eta\vec{k}}}
\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
=
0\ $
e
$
\pars{\ic\,\partial_{t} - \xi_{\eta\vec{k}}}
{\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
=
\delta\pars{t,t'}$. El lector podrá advertir que la
aplicación a ambos miembros de \eqref{FKFuncOFGK}, por la
izquierda, del operador
$\pars{\partial_{t} - \xi_{\eta\vec{k}}}$ reproduce
la Ec. \eqref{FvsG}.
Note que $\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'} \not= 0$
solo si $\angles{a_{\eta\vec{k}}b^{\dagger}}_{0} \not= 0$ lo cual solo
puede ocurrir bajo una condición inicial muy particular.
Por estas razones omitimos $\fermi_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ en estas
breves notas. En consecuencia, las
reglas de Langreth
conducen, a partir de \eqref{FKFuncOFGK}, a
\begin{equation}
{\rm F}_{\eta\vec{k}}^{<}\pars{t,t'}
=
V_{\eta\vec{k}}^{*}\int_{t_{\rm 0}}^{\infty}\dd t''\,\bracks{%
{\rm g}_{\eta\vec{k}}^{\rm\pars{r}}\pars{t,t''}{\rm G}^{<}\pars{t'',t'}
+
{\rm g}_{\eta\vec{k}}^{<}\pars{t,t''}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t'',t'}}
\end{equation}
Reemplazando este resultado
en la expresión para
$\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}$ se obtiene
\begin{align}
\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}
&=
{2e \over \hbar}\,\Re\int_{t_{\rm 0}}^{\infty}\!\!\!\!\!\!\!\dd t'\,
\!\bracks{%
\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{t,t'}{\rm G}^{<}\pars{t',t}
+
\Sigma_{\eta}^{<}\pars{t,t'}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t',t}}
\label{IvsGttprima}
\\[2mm]
\mbox{y}\quad\angles{n\pars{t}} &= -\ic{\rm G}^{<}\pars{t,t}
\label{nGttprima}
\end{align}
$$
\mbox{Además},\quad
\Sigma_{\eta}\pars{t,t'}
\equiv
\sum_{\vec{k}}
\verts{V_{\eta\vec{k}}}^{2}{\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
$$
$$
{\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
\equiv
-\ic\angles{\tk\,a_{\eta\vec{k}}\pars{t}
a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}\pars{t}}_{0}\,,
\quad
\angles{\cdots}_{0}
\equiv
\angles{\cdots}_{V_{\eta\vec{k}} = 0\,,\ \forall\ \eta\vec{k} }$$
Note que la expresión \eqref{IvsGttprima}, para
${\cal I}_{\eta}\pars{t}$, es válida aun cuando existan
términos de interacción con la gota cuántica
los cuales no representan una interacción con los reservorios.
Este resultado expresa el flujo medio de carga
$\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}$, desde el reservorio $\eta$, en
términos de funciones de Green-Keldysh
${\rm G}^{< \atop {\rm\pars{a}}}\pars{t,t'}$ asociadas a la gota
cuántica. $\Sigma_{\eta}\pars{t,t'}$ es determinada por las
condiciones iniciales y por la condición $V_{\eta\vec{k}} =0$,
$\forall\ \eta,\,\vec{k}$; es decir, por la matriz densidad en el instante
inicial $t_{0}$ cuando $V_{\eta\vec{k}} =0$, $\forall \eta,\vec{k}$. En
otras palabras, por la preparación inicial del sistema e,
insistimos, con $V_{\eta\vec{k}} =0$, $\forall\ \eta,\vec{k}$.