Ilustración de una gota cuántica $\pars{~GC~}$ conectada
a dos reservorios $\pars{~L\ \mbox{y}\ R~}$ bajo la
acción de los potenciales eléctricos $V_{L}$ y $V_{R}$,
respectivamente. $V \equiv V_{R} - V_{L}$. $V_{G}$ es el potencial
eléctrico aplicado sobre la gota cuántica
$GC$.
Consideremos una situación donde en el instante inicial
$\pars{~\mbox{cuando}\ V_{L\vec{k}} = V_{R\vec{k}} = 0~}$ solo hay
un electrón, con momento $\vec{p}$, en el reservorio $L$:
$$
\angles{n_{\eta\vec{k}}}_{0}=
\delta_{\eta L}\delta_{\vec{k}\vec{p}}\quad\imp\quad
\left\vert\begin{array}{rcl}
\angles{n_{L\vec{p}}}_{0} & = & 1
\\
\angles{n_{L\vec{k}}}_{0} & = & 0\,,\quad \vec{k} \not= \vec{p}
\\
\angles{n_{R\vec{k}}}_{0} & = & 0
\end{array}\right.
$$
En tal caso,
$$
\Im\Sigma_{L}^{<}\pars{\omega}=
2\pi\verts{V_{L\vec{p}}}^{2}
\delta\pars{\omega - \epsilon_{L\vec{p}} + eV_{L}}\,,\quad
\Im\Sigma_{R}^{<}\pars{\omega} = 0
$$
La corriente eléctrica $I$ y $\angles{n}$ se reducen a
Con la aproximación $\Gamma_{\eta}\pars{\omega} \approx
\Gamma_{\eta}\ \pars{~\mbox{independiente del argumento}\ \omega~}$ y
$\Gamma = \Gamma_{L} + \Gamma_{R}$ se obtiene $\pars{~\mbox{escogiendo}\
V_{L}\ \mbox{como origen del potencial:}\ V_{L} = 0\,,\ V = V_{R}~}$
\begin{align}
I&=
{4\pi^{2}e \over h}\,\verts{V_{L\vec{p}}}^{2}\,
{\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}\,
\rho\pars{\epsilon_{L\vec{p}} - eV_{L}}
\propto
{\Gamma/\pi \over
\bracks{\epsilon_{L\vec{p}} - \pars{\epsilon - eV_{G}}}^{2}+
\Gamma^{2}}
\end{align}
Note que la corriente eléctrica $I$ y el número medio de
electrones $\angles{n}$ en la gota cuántica $GC$ alcanzan su
valor máximo cuando
$$
\epsilon_{L\vec{p}} = \epsilon - eV_{G}
$$
Puesto que $E = \epsilon - eV_{G}$ ( ver figura a
continuación ) es la energía de excitación
efectiva de la gota cuántica, podremos decir que es
necesario excitar la gota cuántica para que sucesivas
desexcitaciones trasladen el electrón hacía los
reservorios.
$E \equiv \epsilon - eV_{G}$, $\omega = \epsilon_{\vec{p}}$. La
corriente eléctrica $I$ adquiere el valor máximo cuando
$\epsilon_{\vec{p}} = \epsilon - eV_{G}$. $\fbox{Note que $I \to 0$
cuando $\verts{\omega} \to \infty$}$.
Reservorios Metálicos
En este caso evaluamos la corriente eléctrica $I$ en la
situación considerada en la sección anterior ( ver
sección Solo un
Conductor ):
Dos Conductores en el Límite de Banda Ancha
$V_{L} = 0$ se ha escogido como origen del potencial eléctrico
$\pars{~V = V_{R} - V_{L} = V_{R}~}$ y
$\wt{\epsilon} \equiv \epsilon - \pars{\mu + eV_{G}}$ es la
posición efectiva de la excitación en la
gota cuántica $GC$.
\begin{align}
I&={4\pi e \over h}\,
{\Gamma_{L}\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}
\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,
\rho\pars{\omega + \mu}
\bracks{\fermi\pars{\omega} -\fermi\pars{\omega + eV}}\nonumber
\\[3mm]&=
{4\pi e \over h}\,
{\Gamma_{L}\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}
\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,
{\Gamma/\pi \over
\pars{\omega - \wt{\epsilon}}^{2} + \Gamma^{2}}\,
\bracks{\fermi\pars{\omega} -\fermi\pars{\omega + eV}}
\label{IlimBA}
\\[5mm]&\mbox{con}\ \Gamma = \Gamma_{L} + \Gamma_{R}.\qquad
\fbox{$\vphantom{\large A}\quad$Note que
$\ds{\sgn\pars{I} = \sgn\pars{V}}\quad$}\nonumber
\end{align}
$$
I =
{4\pi e \over h}\,
{\Gamma_{L}\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}\braces{%
{1 \over \pi}\,\Im\Psi\pars{%
\half + {\Gamma + \bracks{\wt{\epsilon} + eV}\ic \over 2\pi\kb T}}
-{1 \over \pi}\,\Im\Psi\pars{%
\half + {\Gamma + \wt{\epsilon}\,\ic \over 2\pi\kb T}}}
$$
$\Psi$ es la función Digamma.
Note que
$\ds{\verts{I} \leq {4\pi e \over h}\,
{\Gamma_{L}\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}}$
.
Similarmente,
\begin{align*}
\angles{n} &=
{\Gamma_{L} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}
\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,
{\Gamma/\pi \over
\pars{\omega - \wt{\epsilon}}^{2} + \Gamma^{2}}\,\fermi\pars{\omega}
\\[5mm]&\mbox{}+
{\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}
\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,
{\Gamma/\pi \over
\pars{\omega - \wt{\epsilon}}^{2} + \Gamma^{2}}\,\fermi\pars{\omega + eV}
\\[5mm]&\mbox{}
\end{align*}
$$
\angles{n}=
\half
-{\Gamma_{L} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}\,{1 \over \pi}\,\Im\Psi\pars{%
\half + {\Gamma + \wt{\epsilon}\,\ic \over 2\pi\kb T}}
-{\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}\,{1 \over \pi}\,\Im\Psi\pars{%
\half + {\Gamma + \bracks{\wt{\epsilon} + eV}\,\ic \over 2\pi\kb T}}
$$
A continuación podemos ver una ilustración de la
conducta cualitativa del sistema:
Las regiones
amarillas representan a los reservorios $L$ y $R$
( conductores metálicos ) los cuales, en
ausencia de los potenciales aplicados $V_{L}$ y $V_{R}$, se
encuentran ocupados hasta energías
$\approx \mu$.
Las energías se miden verticalmente de forma creciente
hacía arriba.
representa la posición en energías de la gota
cuántica $GC$.
a.
$V_{L} = V_{R}\quad\imp\quad V = V_{R} - V_{L} = 0$. La
posición de
no afecta este resultado.
b.
$V_{L} > V_{R}\quad\imp\quad V = V_{R} - V_{L} < 0$. El flujo
de electones ocurre desde $R$ hacia $L$ $\pars{~L \leftarrow R~}$
pero la corriente eléctrica $I$ fluye de $L$ hacia $R$
$\pars{~L \rightarrow R~}$ de acuerdo a la convención
histórica.
c.
$V_{L} < V_{R}\quad\imp\quad V = V_{R} - V_{L} > 0$. El flujo
de electones ocurre desde $L$ hacia $R$ $\pars{~L \rightarrow R~}$
pero la corriente eléctrica $I$ fluye de $R$ hacia $L$
$\pars{~L \leftarrow R~}$ de acuerdo a la convención
histórica.
d.
La corriente eléctrica es muy pequeña
puesto que la posición efectiva ( en
energías ) de la gota cuántica es $\gg \mu$.
El mismo resultado se obtiene en el caso $\ll \mu$. En estos
límites $\pars{~{\ll \atop \gg}\,\mu~}$ la conducta es
similar al Efecto Túnel ( dos metales separados
por un aislante ).
En general, el sistema exhibe, cualitativamente, la siguiente
tendencia:
Cuando el tope en energías de un reservorio está
por encima de la gota cuántica, tal reservorio
suministra electrones a la gota cuántica mientras trata de
extraer electrones cuando está por debajo lo cual
garantiza el flujo de corriente ( ver
b. y c. ).
Cada reservorio trata de volver al equilibrio mientras la
diferencia de potencial lo impide puesto que los electrones
suministrados a la gota cuántica retornan en un circuito
cerrado a través del otro reservorio.
$\large\ds{\mbox{Efecto Túnel}}$
El efecto Túnel puede obtenerse en el límite
$\verts{\wt{\epsilon}} \ggg \Gamma$ tal que la gota cuántica
$GC$ se comporta como un aislante. En tal
situación:
\begin{align*}
I &\sim
{4e \over h}\,{\Gamma_{L}\Gamma_{R} \over \wt{\epsilon}^{2}}\
\ob{\int_{-\infty}^{\infty}\bracks{%
\fermi\pars{\omega} - \fermi\pars{\omega + eV}}\dd\omega}
{\ds{eV}}
\\[3mm]&=\begin{array}{|c|}\hline\mbox{}
\\
{4e^{2} \over h}\,\dos_{L}\pars{\mu}\dos_{R}\pars{\mu}\,
{\angles{\verts{V_{L\vec{k}}}^{2}}_{\epsilon_{L\vec{k}}\ =\ \mu} \over
\verts{\wt{\epsilon}}}\,
{\angles{\verts{V_{R\vec{k}}}^{2}}_{\epsilon_{R\vec{k}}\ =\ \mu} \over
\verts{\wt{\epsilon}}}\,\mbox{$\Large V$}\,,\quad
\pars{~\mbox{Ley de Ohm}~}
\\ \mbox{}\\ \hline
\end{array}
\\[5mm]
\angles{n} &\to
\begin{array}{|c|}\hline\\ \mbox{}\\
\Theta\pars{-\wt{\epsilon}}
\\ \mbox{}\\ \hline
\end{array}
\end{align*}
Este resultado es usualmente derivado $\pars{~perturbativamente~}$
directamente a partir del hamiltoniano de Túnel
$H_{\tiny\mbox{Túnel}}$:
$$
H_{\tiny\mbox{Túnel}}
=\sum_{\vec{k}}\epsilon_{L\vec{k}}\ a_{L\vec{k}}\+a_{L\vec{k}}
+\sum_{\vec{k}}\epsilon_{R\vec{k}}\ a_{R\vec{k}}\+a_{R\vec{k}}
+\sum_{\vec{k}\vec{q}}\bracks{%
{\cal T}\pars{\vec{k},\vec{q}}a_{L\vec{k}}\+a_{R\vec{q}}
+
{\cal T}^{*}\pars{\vec{k},\vec{q}}a_{R\vec{q}}\+a_{L\vec{k}}}
$$
con la identificación
$$
\angles{\verts{{\cal T}\pars{\vec{k},\vec{q}}}^{2}}
_{\epsilon_{L\vec{k}}\ =\ \mu \atop \epsilon_{R\vec{q}}\ =\ \mu}
\equiv
{\angles{\verts{V_{L\vec{k}}}^{2}}_{\epsilon_{L\vec{k}}\ =\ \mu} \over
\verts{\wt{\epsilon}}}\,
{\angles{\verts{V_{R\vec{k}}}^{2}}_{\epsilon_{R\vec{k}}\ =\ \mu} \over
\verts{\wt{\epsilon}}}
$$
$\large\ds{\quad\Gamma_{L} = \Gamma_{R} = {\Gamma \over 2}\quad
\mbox{y}\quad \Gamma \to \infty}$
En este caso, $I$ y $\angles{n}$ se reducen a
$$
\begin{array}{|c|}\hline\mbox{}\\
I = {e^{2} \over h}\,V\,,\qquad\angles{n} = \half
\\ \mbox{}\\ \hline
\end{array}
\,,\qquad\qquad
\left\vert\begin{array}{l}
\Gamma_{L} = \Gamma_{R} = \half\,\Gamma
\\[1mm]
\Gamma \to \infty
\end{array}\right.
$$
El sistema se comporta como una resistencia de valor
$$
{\Large {h \over e^{2}}
= \fbox{${\LARGE{2\pi \over \alpha}\,{1 \over c}}$}
= {861.023 \over c} \sim 10^{-2}c^{-1}}
$$
$$
\left\vert\begin{array}{rccl}
c: & \mbox{Rapidez de la Luz} & = &
299\,792\,458\ {\rm{m \over seg.}}&&
\\
\alpha: & \mbox{Constante de Estructura-Fina} & \equiv &
{e^{2} \over \hbar c} = 7.297\,352\,5664 \times 10^{-3}
= {1 \over 137.036} \sim {1 \over 137}
\end{array}\right.
$$
$\ds{{\rm R_{K}} \equiv {h \over e^{2}}
= 25\,812.807557\pars{18}\ \Omega}$ es la
constante de Von Klitzing. ${\rm R_{K}}$ ha introducido
un nuevo
"standard para la resistencia eléctrica" denominado
${\rm R_{K-90}}$ o/y valor convencional de
${\rm R_{K}}$:
${\large{\rm R_{K-90}} \equiv 25\,812.807\ \Omega}$
Puesto que el electrón debe remontar una barrera de
energía $\ds{\sim eV}$, su paquete de ondas corresponde a un
pulso de duración $\ds{\tau \sim {h \over eV}}$ tal
que la corriente eléctrica resulta ser
$\ds{I \sim {e \over \tau} \sim {e \over h/\pars{eV}} =
\left(\vphantom{\huge A}\right.}$
$\ds{e^{2} \over h}$
$\left.\vphantom{\huge A}\right)V$.
En este caso, la hibridización no opone resistencia alguna al
paso de la corriente eléctrica tal que la única
fuente de resistencia se debe a la excitación de la
gota cuántica $GC$. Podríamos decir, cualitativamente,
que una excitación ( o canal ) equivale a una
resistencia igual a $\color{#f00}{\LARGE{h \over e^{2}}}$.
$\large\ds{\kb T \gg
{\max\braces{\raiz{\pars{\wt{\epsilon} + eV}^{2} + \Gamma^{2}},
\raiz{\wt{\epsilon}^{2} + \Gamma^{2}}} \over 2\pi}}$
Este caso corresponde al límite de altas
temperaturas:
$$
I \sim {4e \over h}\,
{\Gamma_{L}\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}
\ob{\Psi'\pars{\half}}{\ds{\pi^{2} \over 2}}\
{eV \over 2\pi\kb T}
=
\begin{array}{|c|}\hline\mbox{}\\
{\pi e^{2} \over h}\,
{\Gamma_{L}\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}\,
{1 \over \kb T}\,V
\\ \mbox{}\\ \hline
\end{array}
$$
lo cual corresponde a una resistencia
$\ds{{h \over \pi e^{2}}\,
\pars{{1 \over \Gamma_{L}} + {1 \over \Gamma_{R}}}\kb T}$ que
se incrementa linealmente con la temperatura $T$: Este es el
ejemplo elemental en Física Estadística
de scattering contra un oscilador armónico
clásico.
$$
\angles{n} \sim
\begin{array}{|c|}\hline\\ \mbox{}\\
\half - {1 \over 4}\bracks{%
{\Gamma_{L} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}\,\wt{\epsilon}
+
{\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}\,
\pars{\wt{\epsilon} + eV}}
{1 \over \kb T}
\\ \mbox{}\\ \hline
\end{array}
$$
La ilustración interactiva, a continuación,
muestra la conducta de $I$ y $\angles{n}$ como función
de $\wt{\epsilon}$ y $eV$, en unidades adimensionales, con
la condiciones $\Gamma_{L} = \Gamma_{R} = \Gamma/2$,
$\Gamma = 1$ y $\pi e/h = 1$:
$\vphantom{\LARGE A}$
Consideremos los sistemas $L$ y $R$ a temperaturas $T_{L}$ y $T_{R}$,
respectivamente, con el caso simple $V_{L} = V_{R}$. La corriente
eléctrica puede derivarse en forma similar al resultado
\eqref{IlimBA}:
$$
I \approx {\pi e \over h}\,
{\Gamma_{L}\Gamma_{R} \over \Gamma_{L} + \Gamma_{R}}\,
{\wt{\epsilon} \over \kb T^{2}}\,\Delta T
$$
La diferencia de temperatura genera una corriente eléctrica $I$ a
través de la gota cuántica $GC$.