Formalismo de Keldysh

Ecuaciones de Movimiento de las Funciones de Green-Keldysh

En las aplicaciones del formalismo de Keldysh se estudia la evolución temporal de funciones de correlación de la forma $\angles{A\pars{t}B\pars{t'}}$ o/y $\angles{B\pars{t'}A\pars{t}}$ donde $A\pars{t}$ y $B\pars{t'}$ son operadores en la representación de Heisenberg y $\angles{\cdots} \equiv \trace\pars{\rho\pars{t_{0}}\ldots}$. $t_{0}$ es el instante inicial donde el estado del sistema en estudio es conocido: La matriz densidad $\rho\pars{t_{0}}$ determina la preparación inicial o estado inicial del sistema. El próposito del formalismo es estudiar sistemáticamente la evolución temporal para $t > t_{0}$ y $t' > t_{0}$ de las correlaciones mencionadas arriba. Tales correlaciones se vinculan, en general, a la evaluación temporal de valores medios de observables del sistema en estudio.

Dados los operadores $A\pars{t}$ y $B\pars{t'}$, introducimos las definiciones

\begin{equation} {\rm G}^{>}\pars{t,t'} \equiv -\ic\angles{A\pars{t}B\pars{t'}}\,, \qquad\qquad {\rm G}^{<}\pars{t,t'} \equiv \mp\ic\angles{B\pars{t'}A\pars{t}} \label{defgabmema} \end{equation}

• Los prefactores $i\,$'s se incluyen por simplicidad. Por ejm, ellos cancelan prefactores similares en las ecuaciones de movimiento de Heisenberg.
• En una aplicación particular se escoge uno de los signos $\mp$ en la definición \eqref{defgabmema} de ${\rm G}^{<}\pars{t,t'}$. Con el signo $-$ decimos que las funciones de Green-Keldysh son de caracter bosónico mientras que el signo $+$ corresponde al caracter fermiónico. El origen de la terminología se debe a que la diferencia ${\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'}$ es proporcional al valor medio de un conmutador $\pars{~\mbox{signo}\ -~}$ o de un anticonmutador $\pars{~\mbox{signo}\ +~}$: \begin{align*} {\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'} & = -\ic\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t'}}_{\rm\mp}}\,, \qquad\qquad \bracks{a,b}_{\rm\mp} \equiv ab\ {\rm\mp}\ ba \\[3mm]& \mbox{con}\quad\bracks{a,b} \equiv \bracks{a,b}_{\rm -}\quad \mbox{y}\quad\braces{a,b} \equiv \bracks{a,b}_{\rm +} \end{align*}

Dadas las funciones ${\rm G}^{> \atop <}$, en la definición \eqref{defgabmema}, construimos la función de Green-Keldysh ${\rm G}$ definida sobre el contorno de Keldysh $\ck$: \begin{eqnarray*} {\rm G}\pars{t,t'} & = & \Theta\pars{t,t'}{\rm G}^{>}\pars{t,t'} + \Theta\pars{t',t}{\rm G}^{<}\pars{t,t'} = -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{A\pars{t}B\pars{t'}} \mp \ic\Theta\pars{t',t}\angles{B\pars{t'}A\pars{t}} \\ & = & -\ic\angles{\tk\, A\pars{t}B\pars{t'}} \end{eqnarray*} Derivando, en ambos miembros de esta expresión, respecto de $t$ o $t'$ obtendremos un par de ecuaciones diferenciales para ${\rm G}\pars{t,t'}$ $\pars{~\mbox{con}\ \hbar = 1~}$: \begin{eqnarray*} \ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t} & = & \delta\pars{t,t'}\angles{A\pars{t}B\pars{t}} \\[3mm]&&\mbox{}+ \Theta\pars{t,t'} \angles{{\partial A\pars{t} \over \partial t}\,B\pars{t'}} \pm \bracks{-\delta\pars{t,t'}}\angles{B\pars{t}A\pars{t}} \pm \Theta\pars{t',t} \angles{B\pars{t'}\,{\partial A\pars{t} \over \partial t}} \\[5mm] & = & \delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}} + \angles{\tk\,{\partial A\pars{t} \over \partial t}\,B\pars{t'}} \\[3mm]&=& \delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}} - \ic\angles{\tk\,\bracks{A\pars{t},H}B\pars{t'}} \\[1cm] -\ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t'} & = & \delta\pars{t,t'}\angles{A\pars{t}B\pars{t}} \\[3mm]&&\mbox{}- \Theta\pars{t,t'} \angles{A\pars{t}\,{\partial B\pars{t'} \over \partial t'}} \mp \delta\pars{t,t'}\angles{B\pars{t}A\pars{t}} \mp \Theta\pars{t',t} \angles{{\partial B\pars{t'} \over \partial t'}\,A\pars{t}} \\[5mm] & = & \delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}} - \angles{\tk\,A\pars{t}\,{\partial B\pars{t'} \over \partial t'}} \\[3mm]&=& \delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}} + \ic\angles{\tk\,A\pars{t}\bracks{B\pars{t'},H}} \end{eqnarray*} donde hemos usado la identidad $\partial_{\rm t}\Theta\pars{t,t'} = -\,\partial_{\rm t'}\Theta\pars{t,t'} = \delta\pars{t,t'}\phantom{=}$ , la definición del operador cronológico de Keldysh $\tk$ y las ecuaciones de movimiento de Heisenberg $\pars{~\mbox{con}\ \hbar = 1~}$. Note que \begin{equation} \ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t} + \ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t} = -\ic\angles{\tk\braces{\vphantom{\Huge A}\bracks{A\pars{t},H}B\pars{t'} + A\pars{t}\bracks{B\pars{t'},H}}} \label{combi2anteriores} \end{equation}