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Ecuaciones de Movimiento de las Funciones de
Green-Keldysh
En las aplicaciones del formalismo de Keldysh se estudia la
evolución temporal de funciones de correlación de la
forma $\angles{A\pars{t}B\pars{t'}}$ o/y $\angles{B\pars{t'}A\pars{t}}$
donde $A\pars{t}$ y $B\pars{t'}$ son operadores en la
representación de Heisenberg y
$\angles{\cdots} \equiv \trace\pars{\rho\pars{t_{0}}\ldots}$. $t_{0}$ es
el instante inicial donde el estado del sistema en estudio es
conocido: La matriz densidad $\rho\pars{t_{0}}$ determina la
preparación inicial o estado inicial del sistema. El
próposito del formalismo es estudiar sistemáticamente la
evolución temporal para $t > t_{0}$ y $t' > t_{0}$ de las
correlaciones mencionadas arriba. Tales correlaciones se vinculan, en
general, a la evaluación temporal de valores medios de observables
del sistema en estudio.
Dados los operadores $A\pars{t}$ y $B\pars{t'}$, introducimos las
definiciones
\begin{equation}
{\rm G}^{>}\pars{t,t'}
\equiv
-\ic\angles{A\pars{t}B\pars{t'}}\,,
\qquad\qquad
{\rm G}^{<}\pars{t,t'}
\equiv
\mp\ic\angles{B\pars{t'}A\pars{t}}
\label{defgabmema}
\end{equation}
- Los prefactores $i\,$'s se incluyen por simplicidad. Por ejm,
ellos cancelan prefactores similares en las ecuaciones de
movimiento de Heisenberg.
- En una aplicación particular se escoge uno de los signos
$\mp$ en la definición \eqref{defgabmema} de
${\rm G}^{<}\pars{t,t'}$. Con el signo $-$ decimos que las
funciones de Green-Keldysh son de caracter bosónico
mientras que el signo $+$ corresponde al caracter
fermiónico. El origen de la terminología se debe
a que la diferencia
${\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'}$ es proporcional
al valor medio de un conmutador $\pars{~\mbox{signo}\ -~}$
o de un anticonmutador $\pars{~\mbox{signo}\ +~}$:
\begin{align*}
{\rm G}^{>}\pars{t,t'} - {\rm G}^{<}\pars{t,t'}
& =
-\ic\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t'}}_{\rm\mp}}\,,
\qquad\qquad
\bracks{a,b}_{\rm\mp} \equiv ab\ {\rm\mp}\ ba
\\[3mm]&
\mbox{con}\quad\bracks{a,b} \equiv \bracks{a,b}_{\rm -}\quad
\mbox{y}\quad\braces{a,b} \equiv \bracks{a,b}_{\rm +}
\end{align*}
Dadas las funciones ${\rm G}^{> \atop <}$, en la definición
\eqref{defgabmema}, construimos la función de Green-Keldysh
${\rm G}$ definida sobre el contorno de Keldysh $\ck$:
\begin{eqnarray*}
{\rm G}\pars{t,t'}
& = &
\Theta\pars{t,t'}{\rm G}^{>}\pars{t,t'}
+
\Theta\pars{t',t}{\rm G}^{<}\pars{t,t'}
=
-\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{A\pars{t}B\pars{t'}}
\mp
\ic\Theta\pars{t',t}\angles{B\pars{t'}A\pars{t}}
\\
& = &
-\ic\angles{\tk\, A\pars{t}B\pars{t'}}
\end{eqnarray*}
Derivando, en ambos miembros de esta expresión, respecto de $t$ o
$t'$ obtendremos un par de ecuaciones diferenciales para
${\rm G}\pars{t,t'}$ $\pars{~\mbox{con}\ \hbar = 1~}$:
\begin{eqnarray*}
\ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t}
& = &
\delta\pars{t,t'}\angles{A\pars{t}B\pars{t}}
\\[3mm]&&\mbox{}+
\Theta\pars{t,t'}
\angles{{\partial A\pars{t} \over \partial t}\,B\pars{t'}}
\pm
\bracks{-\delta\pars{t,t'}}\angles{B\pars{t}A\pars{t}}
\pm
\Theta\pars{t',t}
\angles{B\pars{t'}\,{\partial A\pars{t} \over \partial t}}
\\[5mm]
& = &
\delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}}
+
\angles{\tk\,{\partial A\pars{t} \over \partial t}\,B\pars{t'}}
\\[3mm]&=&
\delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}}
-
\ic\angles{\tk\,\bracks{A\pars{t},H}B\pars{t'}}
\\[1cm]
-\ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t'}
& = &
\delta\pars{t,t'}\angles{A\pars{t}B\pars{t}}
\\[3mm]&&\mbox{}-
\Theta\pars{t,t'}
\angles{A\pars{t}\,{\partial B\pars{t'} \over \partial t'}}
\mp
\delta\pars{t,t'}\angles{B\pars{t}A\pars{t}}
\mp
\Theta\pars{t',t}
\angles{{\partial B\pars{t'} \over \partial t'}\,A\pars{t}}
\\[5mm]
& = &
\delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}}
-
\angles{\tk\,A\pars{t}\,{\partial B\pars{t'} \over \partial t'}}
\\[3mm]&=&
\delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}}
+
\ic\angles{\tk\,A\pars{t}\bracks{B\pars{t'},H}}
\end{eqnarray*}
donde hemos usado la identidad
$\partial_{\rm t}\Theta\pars{t,t'}
= -\,\partial_{\rm t'}\Theta\pars{t,t'} = \delta\pars{t,t'}\phantom{=}$
, la definición del operador cronológico de Keldysh
$\tk$ y las ecuaciones de movimiento de Heisenberg
$\pars{~\mbox{con}\ \hbar = 1~}$.
Ecuaciones de Movimiento de la Función de Green-Keldysh
${\rm G}\pars{t,t'}$
\begin{align}
& \nonumber
\\
\ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t}
& =
\delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}}
- \ic\angles{\tk\,\bracks{A\pars{t},H}B\pars{t'}}
\label{ecmovgkt}
\\[3mm]
-\ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t'}
& =
\delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{A\pars{t},B\pars{t}}_{\rm\mp}}
+
\ic\angles{\tk\,A\pars{t}\bracks{B\pars{t'},H}}
\label{ecmovgktp}
\end{align}
Note que
\begin{equation}
\ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t} +
\ic\,{\partial{\rm G}\pars{t,t'} \over \partial t}
=
-\ic\angles{\tk\braces{\vphantom{\Huge A}\bracks{A\pars{t},H}B\pars{t'} +
A\pars{t}\bracks{B\pars{t'},H}}}
\label{combi2anteriores}
\end{equation}