Formalismo de Keldysh

Introducción: Teoría de Perturbación

La Teoría de Perturbaciones es particularmente adecuada para introducir y motivar el ordenamiento temporal en un contorno cerrado ( contorno de Keldysh $\ck$ ):

• Ello conduce a definiciones para funciones de Green-Keldysh como promedio de funciones de correlación de operadores cronológicamente ordenados ( con el ordenamiento temporal de Keldysh ) sobre el contorno de Keldysh $\ck$.
• Tal introducción permite expresar promedios, en Mecánica Cuántica, mediante un formalismo de funciones de Green que abarca condiciones iniciales arbitarias sin ninguna relación a priori con, por ejemplo, el estado del sistema en otros instantes de tiempo $t$ $\pars{~\mbox{en particular cuando}\ t \to \infty~}$.

Cuando el hamiltoniano es de la forma $H = H_{0} + V$, donde $V$ es una perturbación pequeña a la dinámica que describe $H_{0}$; se puede proceder, en principio, a la evaluación perturbativa de $\angles{A\pars{t}}$. Para ello es conveniente recurrir a la Representación de Interacción:

• Introduzcamos el operador de evolución ${\rm U_{0}}\pars{t,t'}$, asociado a $H_{0}$, ( de forma similar al introducido en la sección Introducción: Matriz Densidad ) el cual satisface \begin{eqnarray*} \ic\hbar\,{\partial{\rm U_{0}}\pars{t,t'} \over \partial t} & = & \phantom{-}H_{0}{\rm U_{0}}\pars{t,t'}\,, \qquad\mbox{con}\quad {\rm U_{0}}\pars{t',t'} = 1 \\ \ic\hbar\,{\partial{\rm U_{0}}\pars{t,t'} \over \partial t'} & = & -{\rm U_{0}}\pars{t,t'}H_{0}\,, \qquad\mbox{con}\quad \phantom{'''}{\rm U_{0}}\pars{t,t} = 1 \end{eqnarray*}
• Dado un operador $A$, $$ A_{\rm I}\pars{t} \equiv {\rm U_{0}}\pars{t_{0},t}A{\rm U_{0}}\pars{t,t_{0}} $$ es el operador $A$ en la Representación de Interacción. $A_{\rm I}\pars{t}$ satisface la ecuación de movimiento $$ \ic\hbar\,{\partial A_{\rm I}\pars{t} \over \partial t} = \bracks{A_{\rm I}\pars{t},H_{0}} $$ puesto que $H_{0{\rm I}}\pars{t} = H_{0}$.
• Debido a la dependencia temporal de la matriz densidad $\rho\pars{t}$ ( ver Introducción: Matriz Densidad ), $\rho_{\rm I}\pars{t} \equiv {\rm U_{0}}\pars{t_{0},t}\,\rho\pars{t}\,{\rm U_{0}}\pars{t,t_{0}}$ satisface \begin{equation} \ic\hbar\,{\partial\rho_{\rm I}\pars{t} \over \partial t} = \bracks{V_{\rm I}\pars{t},\rho_{\rm I}\pars{t}}\,.\qquad \mbox{Note que}\ \rho_{\rm I}\pars{t_{0}} = \rho\pars{t_{0}}. \label{rhoIVonNeumann} \end{equation}
• El valor medio de un observable $A$, en el instante $t$, puede ser reescrito en la forma \begin{equation} \angles{A\pars{t}} = \trace\pars{\rho\pars{t}A} = \trace\pars{\vphantom{\LARGE A}% \bracks{\vphantom{\Large A}{\rm U_{0}}\pars{t,t_{0}}\, \rho_{\rm I}\pars{t}\, {\rm U_{0}}\pars{t_{0},t}}\,A} = \trace\pars{\rho_{\rm I}\pars{t}A_{\rm I}\pars{t}} \label{avgAtConI} \end{equation}
• A su vez, $\rho_{\rm I}\pars{t}$ puede ser expresada, con la ayuda de la matriz ${\rm S}\pars{t,t'}$, en términos de $\rho_{\rm I}\pars{t_{0}} = \rho\pars{t_{0}}$: \begin{equation} \rho_{\rm I}\pars{t} = {\rm S}\pars{t,t_{0}}\rho_{\rm I}\pars{t_{0}}{\rm S}\pars{t_{0},t} \label{rhoItrhoIt0} \end{equation} La matriz ${\rm S}\pars{t,t'}$ es unitaria: ${\rm S}^{\dagger}\pars{t,t'}{\rm S}\pars{t,t'} = 1$. ${\rm S}\pars{t,t'}$ satisface las ecuaciones de movimiento \begin{align} \ic\hbar\,{\partial {\rm S}\pars{t,t'} \over \partial t} &= \phantom{-}V_{\rm I}\pars{t}{\rm S}\pars{t,t'} \quad\mbox{con}\quad {\rm S}\pars{t',t'} = 1 \label{Sttpt} \\[2mm] \ic\hbar\,{\partial {\rm S}\pars{t,t'} \over \partial t'} &= -{\rm S}\pars{t,t'}V_{\rm I}\pars{t'} \quad\mbox{con}\quad {\rm S}\pars{t,t} = 1 \label{Sttptp} \end{align} Mediante el uso de las Ecs. \eqref{Sttpt} y \eqref{Sttptp} se puede verificar trivialmente que la expresión \eqref{rhoItrhoIt0} satisface la Ec. \eqref{rhoIVonNeumann}.
• Así mismo, dado un estado $\ket{\Psi\pars{t}}$ del sistema, $\ket{\Psi_{\rm I}\pars{t}}$ es el estado en la representación de interacción: $$ \ket{\Psi_{\rm I}\pars{t}} \equiv {\rm U}_{0}\pars{t_{0},t}\ket{\Psi\pars{t}} \qquad\iff\qquad \ket{\Psi\pars{t}} \equiv {\rm U}_{0}\pars{t,t_{0}}\ket{\Psi_{\rm I}\pars{t}} $$ $\ket{\Psi_{\rm I}\pars{t}}$ satisface la ecuación de movimiento $$ \ic\hbar\,{\partial\ket{\Psi_{\rm I}\pars{t}} \over \partial t} = V_{\rm I}\pars{t}\ket{\Psi_{\rm I}\pars{t}} $$ con la solución formal \begin{equation} \ket{\Psi_{\rm I}\pars{t}} = S\pars{t,t'}\ket{\Psi_{\rm I}\pars{t'}} \label{ISI} \end{equation}

El valor medio del observable $A$, en el instante $t$, ( ver Ec. \eqref{avgAtConI} ) se reduce a \begin{equation} \angles{A\pars{t}} = \angles{{\rm S}\pars{t_{0},t} A_{\rm I}\pars{t} {\rm S}\pars{t,t_{0}}} \end{equation} donde $\angles{\cdots} \equiv \trace\pars{\rho\pars{t_{0}}\ldots}$ y hemos usado la identidad $\rho_{\rm I}\pars{t_{0}} = \rho\pars{t_{0}}$.

Consideremos el caso de un estado puro en el instante inicial $t_{0} \to -\infty$: $\rho_{\rm I}\pars{-\infty} = \ketbra{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}$ donde $\ket{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}$ describe el estado del sistema en el instante inicial $t_{0} \to -\infty$:

\begin{equation} \angles{A\pars{t}} = \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} {{\rm S}\pars{-\infty,t}A_{\rm I}\pars{t}{\rm S}\pars{t,-\infty}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} \label{AtPert} \end{equation} La evaluación de esta expresión resulta complicada debido a que ${\rm S}\pars{t,-\infty}$ y ${\rm S}\pars{-\infty,t}$ vienen dadas, en teoría de perturbaciones, por desarrollos en serie de $V_{I}\pars{t}$: \begin{align*} {\rm S}\pars{t,-\infty} &= {\rm T}\exp\pars{-\,{\ic \over \hbar}\,\int_{-\infty}^{t}\dd t'\, V_{I}\pars{t'}} \\[3mm] {\rm S}\pars{-\infty,t} &= \tilde{\rm T} \exp\pars{-\,{\ic \over \hbar}\,\int^{-\infty}_{t}\dd t'\, V_{I}\pars{t'}} \end{align*} lo cual significa que, en principio, la evaluación involucra la multiplicación de dos series. ${\rm T}$ y $\tilde{\rm T}$ son los operadores cronológicos y anticronológicos de Dyson, respectivamente. Si leemos la evolución temporal, de derecha a izquierda, en el producto ${\rm S}\pars{-\infty,t}A_{\rm I}\pars{t}{\rm S}\pars{t,-\infty}$ podemos observar que la variable temporal se incrementa en ${\rm S}\pars{t,-\infty}$ mientras decrece en ${\rm S}\pars{-\infty,t}$. Si la variable temporal se incrementara en ambas expresiones, la expresión ${\rm S}\pars{-\infty,t}A_{\rm I}\pars{t}{\rm S}\pars{t,-\infty}$ involucraría solo un producto ordenado como el lector habrá advertido.

Usando las relaciones ${\rm S}\pars{-\infty,t} = {\rm S}\pars{-\infty,\infty}{\rm S}\pars{\infty,t}\ $ y $\ \bra{\Psi_{\rm I}\pars{\infty}} = \bra{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}{\rm S}\pars{-\infty,\infty}$, la expresión \eqref{AtPert} se reduce a

$$ \angles{A\pars{t}} = \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{\infty}} {{\rm S}\pars{\infty,t}A_{\rm I}\pars{t}{\rm S}\pars{t,-\infty}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} = \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{\infty}} {{\rm S}\pars{\infty,-\infty}A_{\rm I}\pars{t}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} $$ donde $$ {\rm S}\pars{\infty,-\infty}A_{\rm I}\pars{t} \equiv {\rm T}\braces{% \exp\pars{-\,{\ic \over \hbar}\,\int_{-\infty}^{\infty} \dd t'\,V_{I}\pars{t'}}A_{\rm I}\pars{t}} $$

Aunque hemos reducido el producto de dos series, a la evaluación de solo una serie, el resultado es incompleto puesto que el estado $\ket{\Psi_{\rm I}\pars{\infty}}$ es desconocido. Este se obtiene a partir de $\ket{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}$ con $\ket{\Psi_{\rm I}\pars{\infty}} = {\rm S}\pars{\infty,-\infty}\ket{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}$.

En la teoría tradicional de muchos cuerpos ( por ejm, la que conduce a la introducción de los diagramas de Feynmann ) se supone, de acuerdo al Teorema de Gell-Mann y Low ( ver, por ejm, Quantum Theory of Many-Particle Systems. A. L. Fetter and J. D. Walecka. Dover 2012 ), que los estados $\ket{\Psi_{\rm I}\pars{\pm\infty}}$ son, salvo una diferencia de fase $L$, idénticos cuando el término de interacción $V$ se conecta adiabáticamente ( cuando $t_{0} \to -\infty$ ) y desconecta adiabáticamente ( cuando $t \to +\infty$ ). Es decir,

\begin{align*} \ket{\Psi_{\rm I}\pars{\infty}} &= \expo{\ic L}\,\ket{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} \\[3mm] \mbox{tal que}\quad \expo{\ic L} &= \braket{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}{\Psi_{\rm I}\pars{\infty}} = \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} {{\rm S}\pars{\infty,-\infty}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} \end{align*} En consecuencia \begin{align} \angles{A\pars{t}} &= {\eofm{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} {{\rm S}\pars{\infty,-\infty}A_{\rm I}\pars{t}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} \over \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} {{\rm S}\pars{\infty,-\infty}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}}\nonumber \\[3mm]&= \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} {{\rm S}\pars{\infty,-\infty}A_{\rm I}\pars{t}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}_{\rm c} \label{AvgAtCon} \end{align} donde el subíndice $_{\rm c}$ indica que en la serie $\eofm{-\infty}{{\rm S}\pars{\infty,-\infty}A_{\rm I}\pars{t}}{-\infty}$ , en potencias de $V$, solo se toman en cuenta los diagramas conectados ( Linked Cluster Theorem, ver algún texto de Teoría de Muchos Cuerpos ).