Formalismo de Keldysh. F. P. Marin. Fisica. Ciencias. UCV

Ejemplos Simples en Física

En esta sección presentamos algunos ejemplos simples ( en Física ). Uno de los propósitos es ilustrar que el formalismo de Keldysh provee la evolución temporal en Mecánica Cuántica y no es necesariamente restringido a sistemas macroscópicos.

Equilibrio Termodinámico solo se obtiene como consecuencia de una condición inicial muy particular.

Partícula en Presencia de Potencial Delta: Una Dimensión

La figura ilustra una partícula m de masa $m$ "confinada" al eje $x$ ( caso unidimensional ). Tal partícula se encuentra en presencia de un potencial delta de Dirac $\color{#f00}{\ds{{\cal V}\,\delta\pars{x}}}$ donde $\color{#f00}{\ds{\cal V}}$ es la constante de acoplamiento ( con dimensiones de energía $\times$ longitud ).

El hamiltoniano de este sistema viene dado por \begin{align*} H & = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi\+\pars{x}\bracks{% -\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{}{x} + {\cal V}\,\delta\pars{x}} \Psi\pars{x}\,\dd x\ \\[3mm] & = -\,{1 \over 2m} \int_{-\infty}^{\infty}\Psi\+\pars{x} \,\partiald[2]{\Psi\pars{x}}{x}\,\dd x + {\cal V}\,\Psi\+\pars{0}\Psi\pars{0}\,,\qquad\hbar = 1 \end{align*} $\Psi\pars{x}$ y $\Psi\+\pars{x}$ son operadores de campo tal que $$ \bracks{\Psi\pars{x},\Psi\pars{x'}} = 0\,,\qquad \bracks{\Psi\+\pars{x},\Psi\+\pars{x'}} = 0\,,\qquad \bracks{\Psi\pars{x},\Psi\+\pars{x'}} = \delta\pars{x - x'} $$

Note que \begin{align*} \bracks{\Psi\pars{x},H} & = -\,{1 \over 2m}\int_{-\infty}^{\infty} \ob{\bracks{% \Psi\pars{x},\Psi\+\pars{x'}\,\partiald[2]{\Psi\pars{x'}}{x'}}} {\ds{\delta\pars{x - x'}\,\partiald[2]{\Psi\pars{x'}}{x'}}}\ \dd x'\ +\ {\cal V}\ \ob{\bracks{\Psi\pars{x},\Psi\+\pars{0}\Psi\pars{0}}} {\ds{\delta\pars{x}\Psi\pars{0}}} \\[3mm] & = -\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{\Psi\pars{x}}{x} + {\cal V}\,\delta\pars{x}\Psi\pars{0} \\[3mm] \mbox{Similarmente} & \\[3mm] \bracks{\Psi\+\pars{x},H} & = -\,{1 \over 2m}\int_{-\infty}^{\infty} \ob{\bracks{% \Psi\+\pars{x},\Psi\+\pars{x'}\,\partiald[2]{\Psi\pars{x'}}{x'}}} {\ds{\Psi\+\pars{x'}\,\partiald[2]{\bracks{-\delta\pars{x - x'}}}{x'}}}\ \dd x'\ +\ {\cal V}\ \ob{\bracks{\Psi\+\pars{x},\Psi\+\pars{0}\Psi\pars{0}}} {\ds{-\Psi\+\pars{0}\bracks{-\delta\pars{x}}}} \end{align*}

Evaluaremos el Valor Medio de la Densidad de Partículas en Función del Tiempo ${\rm n}\pars{x,t}$: $$ {\rm n}\pars{x,t} \equiv \angles{\Psi\+\pars{x,t}\Psi\pars{x,t}} \quad\mbox{donde}\quad \Psi\pars{x,t} = {\rm U}\pars{0,t}\Psi\pars{x}{\rm U}\pars{t,0} $$ ${\rm U}\pars{t,t'}$ es el Operador de Evolución. Note que $\Psi\pars{x} = \Psi\pars{x,0}$.

Para cumplir con este propósito es conveniente introducir la función de Green-Keldysh menor:

\begin{align*} {\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'} & \equiv -\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'}\Psi\pars{x,t}} \\[3mm] \mbox{Note que}\ {\rm n}\pars{x,t} & = \ic{\rm G}^{<}\pars{x,t;x,t} \end{align*}

Esta satisface la ecuación de movimiento \begin{align*} \ic\,\partiald{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{t} & = -\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'} \bracks{\ic\,\partiald{\Psi\pars{x,t}}{t}}} = -\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'}\bracks{\Psi\pars{x,t},H}} \\[3mm] & = -\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'}\bracks{\Psi\pars{x,t},H\pars{t}}} \\[3mm] & = -\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'}\bracks{% -\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{\Psi\pars{x,t}}{x} + {\cal V}\delta\pars{x}\Psi\pars{0,t}}} \end{align*} la cual puede reescribirse en la forma $$ \bracks{-\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{}{x} + {\cal V}\delta\pars{x}}{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'} = \ic\,\partiald{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{t} $$ la cual es equivalente a \begin{equation} \left\lbrace\begin{array}{rclcrcl} -\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{x} & = & \ic\,\partiald{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{t} & \mbox{si} & x & \not= & 0 \\[2mm] \left.-\,{1 \over 2m}\,\partiald{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{x} \right\vert_{x\ =\ 0^{-}}^{x\ =\ 0^{+}} & = & -{\cal V}{\rm G}\pars{0,t,x',t'} &&& \end{array}\right. \label{condiGmenos} \end{equation} Una solución es del tipo ondas planas $\pars{~\mbox{con}\ \omega_{k} = \ds{k^{2} \over 2m}~}$: $$ {\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'} = \left\lbrace\begin{array}{lcrcl} \expo{\ic\pars{kx - \omega_{k}t}} + R\expo{-\ic\pars{kx + \omega_{k}t}} & \mbox{if} & x & < & 0 \\[2mm] T\expo{\ic\pars{kx - \omega_{k}t}} & \mbox{if} & x & > & 0 \end{array}\right. $$ tal que $\large\mbox{(}$ ver \eqref{condiGmenos} $\large\mbox{)}$ $$ \left\lbrace\begin{array}{rcrcl} T & - & R & = & 1 \\[2mm] \pars{{\cal V} - {k \over 2m}\,\ic}T & - & {k \over 2m}\,\ic R & = & -\,{k \over 2m}\,\ic \end{array}\right. \quad\imp\quad \left\vert\begin{array}{rcl} T & = & \phantom{-\,}{k \over k + m{\cal V}\ic} \\[2mm] R & = & -\,{m{\cal V}\ic \over k + m{\cal V}\ic} \end{array}\right. $$

Oscilador Armónico Unidimensional

El hamiltoniano, en una dimensión, de una partícula de masa $m$ y constante de Hooke $m\omega^{2}$, con $\omega > 0$, viene dado por

$$ H = {p_{x}^{2} \over 2m} + \half\,m\omega^{2}x^{2}\,,\qquad \bracks{x,p_{x}} = \ic\hbar $$ el cual puede ser reescrito en la forma $$ H = {p_{x}^{2} + m^{2}\omega^{2}x^{2} \over 2m\hbar\omega}\,\hbar\omega = \braces{{m\omega x - p_{x}\ic \over \raiz{2m\hbar\omega}}\, {m\omega x + p_{x}\ic \over \raiz{2m\hbar\omega}} - {\bracks{x,p_{x}} \over 2\hbar}\,\ic}\,\hbar\omega $$ En términos de los operadores de creación $a\+$ y destrucción $a$ $$ a \equiv {m\omega x + p_{x}\ic \over \raiz{2m\hbar\omega}}\,,\quad a\+ \equiv {m\omega x - p_{x}\ic \over \raiz{2m\hbar\omega}}\,; \qquad \left\vert\begin{array}{rcl} \bracks{a,a\+} & = & 1 \\[2mm] x & = & \raiz{\hbar \over 2m\omega}\pars{a\+ + a} \\[2mm] p_{x} & = & \raiz{m\hbar\omega \over 2}\pars{a\+ - a}\ic \end{array}\right. $$ el hamiltoniano es reescrito en la forma $$ H = \pars{a\+a + \half}\omega\,;\qquad \quad\hbar = 1 $$

Evaluaremos $\angles{x\pars{t}}$, $\forall\ t > 0$, en términos de $\angles{x\pars{0}}$ y $\angles{p_{x}\pars{0}}$. $t_{0} = 0$ es el instante inicial.

$$ \mbox{Note que}\quad \angles{x\pars{t}} = \raiz{2\hbar \over m\omega} \Re\pars{\angles{a\pars{t}}} \quad\mbox{y}\quad \bracks{a,n} = a\,, \qquad n \equiv a\+a $$ Ello sugiere la introducción de la función de Green-Keldysh $\pars{~\mbox{note que}\ n\pars{t} = n\pars{0} = n\ \mbox{puesto que}\ \bracks{n,H} = 0~}$: $$ {\rm G}\pars{t,t'} = -\ic\angles{\tk a\pars{t}n\pars{t'}} = -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t}n\pars{t'}} - \ic\Theta\pars{t',t}\angles{n\pars{t'}a\pars{t}}\,,\qquad t, t' > 0 $$ la cual satisface la ecuación de movimiento \begin{align*} \ic\,\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t} & = \delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{a\pars{t},n\pars{t'}}} -\ic\angles{\tk\bracks{a\pars{t},H}n\pars{t'}} \\[3mm] & = \delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{a\pars{t},n\pars{t}}} - \ic\omega\angles{\tk a\pars{t}n\pars{t'}} = \delta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t}} + \omega{\rm G}\pars{t,t'} \\[3mm] & \pars{~\mbox{Note que}\ \angles{a\pars{0}} = \angles{a}~} \\[5mm] \mbox{o/y}\quad \partiald{\bracks{\exp\pars{\ic\omega t}{\rm G}\pars{t,t'}}}{t} & = -\ic\exp\pars{\ic\omega t}\delta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t}} \end{align*} Con $t \in \ck_{-}$, integramos esta ecuación a lo largo del contorno de Keldysh $\ck$ desde $0$ hasta $t$ ( ver figura a continuación ): \begin{align*} \exp\pars{\ic\omega t}{\rm G}\pars{t,t'} -\ \ob{{\rm G}\pars{0,t'}}{\ds{-\ic\angles{na}}} & = -\ic\int_{0_{-}}^{t\ \in\ \ck_{-}} \exp\pars{\ic\omega t''}\delta\pars{t'',t'}\angles{a\pars{t''}}\, \dd t'' \\[3mm] & = -\ic\exp\pars{\ic\omega t'}\Theta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t'}} \end{align*} Se obtiene el mismo resultado si elegimos $t \in \ck_{+}$ porque la integración sobre $\pars{t,\infty_{-}}$ cancela la integración sobre $\pars{\infty_{+},t}$.

${\rm G}\pars{t,t'}$ viene dada por

\begin{equation} {\rm G}\pars{t,t'} = \ic\angles{na}\exp\pars{-\ic\omega t} -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t'}} \exp\pars{-\ic\omega\bracks{t - t'}} \label{soluoaunidim} \end{equation} tal que podemos comparar dos expresiones para ${\rm G^{\rm\pars{r}}}\pars{t,0^{+}}$ $\pars{~\mbox{note que}\ t > 0\ \mbox{y}\ t' > 0~}$:

Por definición: \begin{align} {\rm G^{\rm\pars{r}}}\pars{t,0^{+}} & = \Theta\pars{t}\braces{\vphantom{\LARGE A}% -\ic\angles{a\pars{t}n} - \bracks{\vphantom{\Large A}-\ic\angles{na\pars{t}}}} = -\ic\Theta\pars{t}\angles{\vphantom{\large A}\bracks{a\pars{t},n}} \nonumber \\[3mm] & = -\ic\Theta\pars{t}\angles{\vphantom{\large A}\bracks{a\pars{t},n\pars{t}}} = -\ic\Theta\pars{t}\angles{a\pars{t}} \label{defgroscarm0} \end{align}
A partir de la solución \eqref{soluoaunidim}: \begin{align} {\rm G^{\rm\pars{r}}}\pars{t,0^{+}} & = \Theta\pars{t}\braces{\vphantom{\LARGE A}% \bracks{\vphantom{\Large A}\ic\angles{na}\exp\pars{-\ic\omega t} -\ic\exp\pars{-\ic\omega t}\angles{a}} - \ic\angles{na}\exp\pars{-\ic\omega t}} \nonumber \\[3mm] & = -\ic\Theta\pars{t}\exp\pars{-\ic\omega t}\angles{a} \label{defgroscarm1} \end{align}

Las expresiones \eqref{defgroscarm0} y \eqref{defgroscarm1} conducen, para $t > 0$, a:

$$ \angles{a\pars{t}} = \angles{a}\exp\pars{-\ic\omega t} $$ Con esta solución, y después de una manipulación algebraica, $\angles{x\pars{t}}$ se reduce a $$ \angles{x\pars{t}} = \angles{x\pars{0}}\cos\pars{\omega t} + {\angles{p_{x}\pars{0}} \over m\omega}\, \sen\pars{\omega t}\,,\quad t > 0 $$

Note que esencialmente equivale a resolver las ecuaciones de movimiento de Heisenberg. En realidad, el uso del formalismo para problemas libres es innecesario. En la práctica, el problema libre es usado para convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones integrales con una aplicación posterior de las reglas de Langreth.

Un Spin

Considere un spin $\vec{\sigma} = \sigma_{\rm x}\hat{\rm x} + \sigma_{\rm y}\hat{\rm y} + \sigma_{\rm z}\hat{\rm z}$ $\pars{~\sigma_{\rm i}\ \mbox{es una matriz de Pauli}\,,\ {\rm i} = {\rm x,y,z}~}$ en presencia del campo magnético $H_{\rm z}\hat{\rm z}$ . El hamiltoniano de este sistema viene dado por

$$ H \equiv -H_{\rm z}\sigma_{z}\,,\qquad \pars{~H_{\rm z} > 0\ \mbox{en unidades de energía}~} $$

Dados los valores iniciales de $\angles{\vec{\sigma}\pars{t}}$, El propósito de este ejercicio es evaluar $\angles{\vec{\sigma}\pars{t}}$, $\forall\ t > 0$.

Nota al Margen Imagine que $H_{\rm z} \to \infty$. ¿ Cual es el valor medio $\angles{\vec{\sigma}\pars{t}}$ de $\vec{\sigma}$ cuando $t \to \infty$ ?.
¿ Es igual a $\hat{\rm z}$ ?. Es decir, $\angles{\sigma_{\rm x}\pars{t}} = \angles{\sigma_{\rm y}\pars{t}} = 0$ y $\angles{\sigma_{\rm z}\pars{t}} = 1$ cuando $t \to \infty$.

Respuesta: No podemos afirmar nada hasta que no conozcamos las condiciones iniciales.

Sin embargo, note que $\bracks{\sigma_{\rm z},H} = 0$ tal que $\sigma_{z}\pars{t}$ es independiente del tiempo y ( ver sección Introducción: Matriz Densidad ) $$ \angles{\sigma_{z}\pars{t}} = \angles{\sigma_{z}\pars{t_{0}}} = \trace\pars{\rho\pars{t_{0}}\sigma_{z}\pars{t_{0}}} $$ Por ejemplo, si el valor medio de $\sigma_{z}$ es cero en el instante inicial $t_{0}$, tal valor medio será igual a cero $\forall\ t > t_{0}$ e independiente del valor de $H_{\rm z}$ $\pars{~¡¡¡~\mbox{aun si}\ H_{\rm z} \to \infty~!!!~}$.

Continuamos.

La situación presente es fácilmente manipulable si se introducen operadores de creación y destrucción

\begin{align*} b & \equiv \half\,\pars{\sigma_{\rm x} - \sigma_{\rm y}\ic~}\,,\quad b\+ \equiv \half\,\pars{\sigma_{\rm x} + \sigma_{\rm y}\ic~} \quad\mbox{tal que}\quad \left\vert\begin{array}{l}\begin{array}{ccl} \braces{b,b\+} & = & 1 \\[1mm] \braces{b,b} & = & 0 \\[1mm] \braces{b\+,b\+} & = & 0 \end{array} \\ \mbox{Note que}\quad b^{2} = 0\quad \mbox{y}\quad {b\+}^{2} = 0 \end{array} \right. \\[3mm] \sigma_{x} & = b + b\+\,,\quad \sigma_{y} = \pars{b - b\+}\ic\,,\quad \sigma_{z} = 2b\+b - 1 = 1 - 2bb\+ \end{align*} El hamiltoniano se reduce a $$ H = H_{\rm z} - \omega_{0}b\+b\,,\qquad \omega_{0} \equiv 2H_{\rm z} > 0 $$ Introducimos las funciones de Green-Keldysh ${\rm F}\pars{t,t'}$ y ${\rm G}\pars{t,t'}$ de caracter fermiónico: \begin{align} {\rm F}\pars{t,t'} & \equiv -\ic\angles{\tk b\pars{t}\sigma_{z}\pars{t'}} \,\,= -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{b\pars{t}\sigma_{z}\pars{t'}} + \ic\Theta\pars{t',t}\angles{\sigma_{z}\pars{t'}b\pars{t}} \label{defFmagnetico} \\[3mm] {\rm G}\pars{t,t'} & \equiv -\ic\angles{\tk b\pars{t}b\+\pars{t'}} = -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{b\pars{t}b\+\pars{t'}} + \ic\Theta\pars{t',t}\angles{b\+\pars{t'}b\pars{t}} \label{defGmagnetico} \end{align} sobre el contorno de Keldysh $\ck = \ck_{-}\bigcup\ck_{+}$ siguiente: Con las definiciones \eqref{defGmagnetico} y \eqref{defFmagnetico} se obtiene \begin{equation} \angles{\sigma_{x}\pars{t}} = -4\Im\pars{{\rm F}^{<}\pars{t,t}}\,,\quad \angles{\sigma_{y}\pars{t}} = -4\Re\pars{{\rm F}^{<}\pars{t,t}}\,,\quad \angles{\sigma_{z}\pars{t}} = -1 - 2\ic{\rm G}^{<}\pars{t,t} \label{relsigmaFG} \end{equation}

${\rm F}\pars{t,t'}$ satisface la ecuación de movimiento

\begin{align*} \ic\partiald{{\rm F}\pars{t,t'}}{t} & = \delta\pars{t,t'}\angles{\braces{b\pars{t},\sigma_{z}\pars{t'}}} -\ic\angles{\tk\bracks{b\pars{t},H}\sigma_{z}\pars{t'}} \\[3mm] & = \delta\pars{t,t'}\ \ob{\angles{\braces{b\pars{t},\sigma_{z}\pars{t}}}} {\ds{0}}\ +\ \ic\omega_{0}\angles{\tk b\pars{t}\sigma_{z}\pars{t'}} = -\omega_{0}{\rm F}\pars{t,t'} \end{align*} donde hemos usado la identidad $\bracks{A,BC} = \braces{A,B}C - B\braces{A,C}$. Esta ecuación es equivalente a $$ \partiald{\bracks{\exp\pars{-\ic\omega_{0}t}{\rm F}\pars{t,t'}}}{t} = 0 \quad\imp\quad {\rm F}\pars{t,t'} = \exp\pars{\ic\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}}{\rm F}\pars{t_{0},t'}\,, \quad t, t' > t_{0} $$ Puesto que $\angles{\sigma_{z}\pars{t}}$ es independiente de $t$ $\pars{~\mbox{note que}\ \bracks{\sigma_{z},H} = 0~}$, la expresión anterior conduce a $$ {\rm F}^{<}\pars{t,t} = \exp\pars{\ic\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}}{\rm F}^{<}\pars{t_{0},t_{0}} $$ o/y \begin{align*} \Im\pars{{\rm F}^{<}\pars{t,t}} & = \cos\pars{\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}} \Im\pars{{\rm F}^{<}\pars{t_{0},t_{0}}} +\sen\pars{\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}} \Re\pars{{\rm F}^{<}\pars{t_{0},t_{0}}} \\[3mm] \Re\pars{{\rm F}^{<}\pars{t,t}} & = \cos\pars{\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}} \Re\pars{{\rm F}^{<}\pars{t_{0},t_{0}}} -\sen\pars{\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}} \Im\pars{{\rm F}^{<}\pars{t_{0},t_{0}}} \end{align*}

Con las relaciones \eqref{relsigmaFG}: \begin{align*} \angles{\sigma_{x}\pars{t}} & = \angles{\sigma_{x}\pars{t_{0}}}\cos\pars{\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}} + \angles{\sigma_{y}\pars{t_{0}}}\sen\pars{\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}} \\[3mm] \angles{\sigma_{y}\pars{t}} & = \angles{\sigma_{y}\pars{t_{0}}}\cos\pars{\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}} - \angles{\sigma_{x}\pars{t_{0}}}\sen\pars{\omega_{0}\bracks{t - t_{0}}} \end{align*} La componente del momento magnético en el plano ${\rm xy}$ precesa con frecuencia angular $\omega_{0} = 2H_{z} > 0$.

$\angles{\sigma_{z}\pars{t}}$ es trivialmente igual a $\angles{\sigma_{z}\pars{t_{0}}}$, $\forall\ t$. Sin embargo, tal resultado puede derivarse estudiando las ecuaciones de movimiento que involucran a $\ds{\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t}}$ y $\ds{\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t'}}$:

\begin{align} \ic\,\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t} & = \delta\pars{t,t'}\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t'}}} -\ic\angles{\tk\bracks{b\pars{t},H}b\+\pars{t'}} \nonumber \\[3mm] & = \delta\pars{t,t'}\ \ob{\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t}}}}{\ds{1}}\ +\ \ic\omega_{0}\angles{\tk b\pars{t}b\+\pars{t'}} = \delta\pars{t,t'} - \omega_{0}{\rm G}\pars{t,t'} \label{ecuGt} \\[3mm] \mbox{Similarmente,}& \nonumber \\[3mm] -\ic\,\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t'} & = \delta\pars{t,t'}\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t'}}} +\ic\angles{\tk b\pars{t}\bracks{b\+\pars{t'},H}} \nonumber \\[3mm] & = \delta\pars{t,t'}\ \ob{\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t}}}}{\ds{1}}\ +\ \ic\omega_{0}\angles{\tk b\pars{t}b\+\pars{t'}} = \delta\pars{t,t'} - \omega_{0}{\rm G}\pars{t,t'} \label{ecuGtp} \end{align} Las ecuaciones \eqref{ecuGt} y \eqref{ecuGtp} conducen a la relación $$ \pars{\partiald{}{t} + \partiald{}{t'}}{\rm G}\pars{t,t'} = 0 $$ Con el Método de las Características se concluye que ${\rm G}\pars{t,t'}$ depende de $t$ y $t'$ a través de la diferencia $t - t'$ y por tanto ${\rm G}^{<}\pars{t,t}$ es independiente de $t$:

En conclusión ${\large\mbox{(}}$ ver relaciones \eqref{relsigmaFG} ${\large\mbox{)}}$: $$ \angles{\sigma_{z}\pars{t}} = \angles{\sigma_{z}\pars{t_{0}}}\,,\qquad \forall\ t > t_{0} $$