En esta sección presentamos algunos ejemplos simples ( en
Física ). Uno de los propósitos es ilustrar que el
formalismo de Keldysh provee la evolución temporal en
Mecánica Cuántica y no es necesariamente restringido a
sistemas macroscópicos.
Equilibrio Termodinámico solo se obtiene como consecuencia
de una condición inicial muy particular.
Partícula en Presencia de Potencial Delta: Una
Dimensión
La figura ilustra una partícula m de
masa $m$ "confinada" al eje $x$ ( caso unidimensional ).
Tal partícula se encuentra en presencia de un potencial
delta de Dirac $\color{#f00}{\ds{{\cal V}\,\delta\pars{x}}}$
donde $\color{#f00}{\ds{\cal V}}$ es la constante de acoplamiento
( con dimensiones de
energía $\times$ longitud ).
El hamiltoniano de este sistema viene dado por
\begin{align*}
H & = \int_{-\infty}^{\infty}\Psi\+\pars{x}\bracks{%
-\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{}{x} + {\cal V}\,\delta\pars{x}}
\Psi\pars{x}\,\dd x\
\\[3mm] & =
-\,{1 \over 2m} \int_{-\infty}^{\infty}\Psi\+\pars{x}
\,\partiald[2]{\Psi\pars{x}}{x}\,\dd x
+ {\cal V}\,\Psi\+\pars{0}\Psi\pars{0}\,,\qquad\hbar = 1
\end{align*}
$\Psi\pars{x}$ y $\Psi\+\pars{x}$ son operadores de campo tal que
$$
\bracks{\Psi\pars{x},\Psi\pars{x'}} = 0\,,\qquad
\bracks{\Psi\+\pars{x},\Psi\+\pars{x'}} = 0\,,\qquad
\bracks{\Psi\pars{x},\Psi\+\pars{x'}} = \delta\pars{x - x'}
$$
Evaluaremos el Valor Medio de la Densidad de Partículas en
Función del Tiempo ${\rm n}\pars{x,t}$:
$$
{\rm n}\pars{x,t} \equiv \angles{\Psi\+\pars{x,t}\Psi\pars{x,t}}
\quad\mbox{donde}\quad
\Psi\pars{x,t} = {\rm U}\pars{0,t}\Psi\pars{x}{\rm U}\pars{t,0}
$$
${\rm U}\pars{t,t'}$ es el
Operador de
Evolución. Note que $\Psi\pars{x} = \Psi\pars{x,0}$.
Para cumplir con este propósito es conveniente introducir la
función de Green-Keldysh menor:
Esta satisface la ecuación de movimiento
\begin{align*}
\ic\,\partiald{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{t}
& = -\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'}
\bracks{\ic\,\partiald{\Psi\pars{x,t}}{t}}}
= -\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'}\bracks{\Psi\pars{x,t},H}}
\\[3mm] & =
-\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'}\bracks{\Psi\pars{x,t},H\pars{t}}}
\\[3mm] & = -\ic\angles{\Psi\+\pars{x',t'}\bracks{%
-\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{\Psi\pars{x,t}}{x}
+ {\cal V}\delta\pars{x}\Psi\pars{0,t}}}
\end{align*}
la cual puede reescribirse en la forma
$$
\bracks{-\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{}{x}
+ {\cal V}\delta\pars{x}}{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}
= \ic\,\partiald{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{t}
$$
la cual es equivalente a
\begin{equation}
\left\lbrace\begin{array}{rclcrcl}
-\,{1 \over 2m}\,\partiald[2]{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{x}
& = & \ic\,\partiald{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{t}
& \mbox{si} & x & \not= & 0
\\[2mm]
\left.-\,{1 \over 2m}\,\partiald{{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'}}{x}
\right\vert_{x\ =\ 0^{-}}^{x\ =\ 0^{+}} & = &
-{\cal V}{\rm G}\pars{0,t,x',t'} &&&
\end{array}\right.
\label{condiGmenos}
\end{equation}
Una solución es del tipo ondas planas
$\pars{~\mbox{con}\ \omega_{k} = \ds{k^{2} \over 2m}~}$:
$$
{\rm G}^{<}\pars{x,t;x',t'} =
\left\lbrace\begin{array}{lcrcl}
\expo{\ic\pars{kx - \omega_{k}t}} + R\expo{-\ic\pars{kx + \omega_{k}t}}
& \mbox{if} & x & < & 0
\\[2mm]
T\expo{\ic\pars{kx - \omega_{k}t}} & \mbox{if} & x & > & 0
\end{array}\right.
$$
tal que $\large\mbox{(}$ ver \eqref{condiGmenos} $\large\mbox{)}$
$$
\left\lbrace\begin{array}{rcrcl}
T & - & R & = & 1
\\[2mm]
\pars{{\cal V} - {k \over 2m}\,\ic}T & - & {k \over 2m}\,\ic R
& = & -\,{k \over 2m}\,\ic
\end{array}\right.
\quad\imp\quad
\left\vert\begin{array}{rcl}
T & = & \phantom{-\,}{k \over k + m{\cal V}\ic}
\\[2mm]
R & = & -\,{m{\cal V}\ic \over k + m{\cal V}\ic}
\end{array}\right.
$$
Oscilador Armónico Unidimensional
El hamiltoniano, en una dimensión, de una partícula
de masa $m$ y constante de Hooke $m\omega^{2}$, con
$\omega > 0$, viene dado por
$$
H = {p_{x}^{2} \over 2m} + \half\,m\omega^{2}x^{2}\,,\qquad
\bracks{x,p_{x}} = \ic\hbar
$$
el cual puede ser reescrito en la forma
$$
H = {p_{x}^{2} + m^{2}\omega^{2}x^{2} \over 2m\hbar\omega}\,\hbar\omega
= \braces{{m\omega x - p_{x}\ic \over \raiz{2m\hbar\omega}}\,
{m\omega x + p_{x}\ic \over \raiz{2m\hbar\omega}}
- {\bracks{x,p_{x}} \over 2\hbar}\,\ic}\,\hbar\omega
$$
En términos de los operadores de creación $a\+$ y
destrucción $a$
$$
a \equiv
{m\omega x + p_{x}\ic \over \raiz{2m\hbar\omega}}\,,\quad
a\+ \equiv
{m\omega x - p_{x}\ic \over \raiz{2m\hbar\omega}}\,;
\qquad
\left\vert\begin{array}{rcl}
\bracks{a,a\+} & = & 1
\\[2mm]
x & = & \raiz{\hbar \over 2m\omega}\pars{a\+ + a}
\\[2mm]
p_{x} & = & \raiz{m\hbar\omega \over 2}\pars{a\+ - a}\ic
\end{array}\right.
$$
el hamiltoniano es reescrito en la forma
$$
H = \pars{a\+a + \half}\omega\,;\qquad
\quad\hbar = 1
$$
Evaluaremos $\angles{x\pars{t}}$, $\forall\ t > 0$,
en términos de $\angles{x\pars{0}}$ y $\angles{p_{x}\pars{0}}$.
$t_{0} = 0$ es el instante inicial.
$$
\mbox{Note que}\quad
\angles{x\pars{t}} = \raiz{2\hbar \over m\omega}
\Re\pars{\angles{a\pars{t}}} \quad\mbox{y}\quad \bracks{a,n} = a\,,
\qquad n \equiv a\+a
$$
Ello sugiere la introducción de la función de Green-Keldysh
$\pars{~\mbox{note que}\ n\pars{t} = n\pars{0} = n\ \mbox{puesto que}\
\bracks{n,H} = 0~}$:
$$
{\rm G}\pars{t,t'} = -\ic\angles{\tk a\pars{t}n\pars{t'}}
= -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t}n\pars{t'}}
- \ic\Theta\pars{t',t}\angles{n\pars{t'}a\pars{t}}\,,\qquad t, t' > 0
$$
la cual satisface la
ecuación de
movimiento
\begin{align*}
\ic\,\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t}
& = \delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{a\pars{t},n\pars{t'}}}
-\ic\angles{\tk\bracks{a\pars{t},H}n\pars{t'}}
\\[3mm] & =
\delta\pars{t,t'}\angles{\bracks{a\pars{t},n\pars{t}}}
- \ic\omega\angles{\tk a\pars{t}n\pars{t'}}
= \delta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t}} + \omega{\rm G}\pars{t,t'}
\\[3mm] &
\pars{~\mbox{Note que}\ \angles{a\pars{0}} = \angles{a}~}
\\[5mm] \mbox{o/y}\quad
\partiald{\bracks{\exp\pars{\ic\omega t}{\rm G}\pars{t,t'}}}{t}
& =
-\ic\exp\pars{\ic\omega t}\delta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t}}
\end{align*}
Con $t \in \ck_{-}$, integramos esta ecuación a lo largo del
contorno de Keldysh $\ck$ desde $0$ hasta $t$ ( ver figura a
continuación ):
\begin{align*}
\exp\pars{\ic\omega t}{\rm G}\pars{t,t'} -\
\ob{{\rm G}\pars{0,t'}}{\ds{-\ic\angles{na}}}
& =
-\ic\int_{0_{-}}^{t\ \in\ \ck_{-}}
\exp\pars{\ic\omega t''}\delta\pars{t'',t'}\angles{a\pars{t''}}\,
\dd t''
\\[3mm] & =
-\ic\exp\pars{\ic\omega t'}\Theta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t'}}
\end{align*}
Se obtiene el mismo resultado si elegimos $t \in \ck_{+}$ porque la
integración sobre $\pars{t,\infty_{-}}$ cancela la
integración sobre $\pars{\infty_{+},t}$.
${\rm G}\pars{t,t'}$ viene dada por
\begin{equation}
{\rm G}\pars{t,t'}
= \ic\angles{na}\exp\pars{-\ic\omega t}
-\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{a\pars{t'}}
\exp\pars{-\ic\omega\bracks{t - t'}}
\label{soluoaunidim}
\end{equation}
tal que podemos comparar dos expresiones para
${\rm G^{\rm\pars{r}}}\pars{t,0^{+}}$
$\pars{~\mbox{note que}\ t > 0\ \mbox{y}\ t' > 0~}$:
A partir de la solución \eqref{soluoaunidim}:
\begin{align}
{\rm G^{\rm\pars{r}}}\pars{t,0^{+}}
& = \Theta\pars{t}\braces{\vphantom{\LARGE A}%
\bracks{\vphantom{\Large A}\ic\angles{na}\exp\pars{-\ic\omega t}
-\ic\exp\pars{-\ic\omega t}\angles{a}}
- \ic\angles{na}\exp\pars{-\ic\omega t}}
\nonumber
\\[3mm] & =
-\ic\Theta\pars{t}\exp\pars{-\ic\omega t}\angles{a}
\label{defgroscarm1}
\end{align}
Las expresiones \eqref{defgroscarm0} y \eqref{defgroscarm1} conducen,
para $t > 0$, a:
$$
\angles{a\pars{t}} = \angles{a}\exp\pars{-\ic\omega t}
$$
Con esta solución, y después de una manipulación
algebraica, $\angles{x\pars{t}}$ se reduce a
$$
\angles{x\pars{t}}
=
\angles{x\pars{0}}\cos\pars{\omega t}
+ {\angles{p_{x}\pars{0}} \over m\omega}\,
\sen\pars{\omega t}\,,\quad t > 0
$$
Note que esencialmente equivale a resolver las ecuaciones de
movimiento de Heisenberg. En realidad, el uso del formalismo para
problemas libres es innecesario. En la práctica,
el problema libre es usado para convertir las ecuaciones
diferenciales en ecuaciones integrales con una aplicación
posterior de las reglas de Langreth.
Un Spin
Considere un spin
$\vec{\sigma} = \sigma_{\rm x}\hat{\rm x} + \sigma_{\rm y}\hat{\rm y} +
\sigma_{\rm z}\hat{\rm z}$
$\pars{~\sigma_{\rm i}\ \mbox{es una matriz de Pauli}\,,\
{\rm i} = {\rm x,y,z}~}$ en presencia del campo magnético
$H_{\rm z}\hat{\rm z}$ . El
hamiltoniano de este sistema viene dado por
$$
H \equiv -H_{\rm z}\sigma_{z}\,,\qquad
\pars{~H_{\rm z} > 0\ \mbox{en unidades de energía}~}
$$
Dados los valores iniciales de $\angles{\vec{\sigma}\pars{t}}$,
El propósito de este ejercicio es evaluar
$\angles{\vec{\sigma}\pars{t}}$, $\forall\ t > 0$.
Continuamos.
La situación presente es fácilmente manipulable si se
introducen operadores de creación y destrucción
\begin{align*}
b & \equiv \half\,\pars{\sigma_{\rm x} - \sigma_{\rm y}\ic~}\,,\quad
b\+ \equiv \half\,\pars{\sigma_{\rm x} + \sigma_{\rm y}\ic~}
\quad\mbox{tal que}\quad
\left\vert\begin{array}{l}\begin{array}{ccl}
\braces{b,b\+} & = & 1
\\[1mm]
\braces{b,b} & = & 0
\\[1mm]
\braces{b\+,b\+} & = & 0
\end{array}
\\
\mbox{Note que}\quad b^{2} = 0\quad \mbox{y}\quad {b\+}^{2} = 0
\end{array}
\right.
\\[3mm]
\sigma_{x} & = b + b\+\,,\quad
\sigma_{y} = \pars{b - b\+}\ic\,,\quad
\sigma_{z} = 2b\+b - 1 = 1 - 2bb\+
\end{align*}
El hamiltoniano se reduce a
$$
H = H_{\rm z} - \omega_{0}b\+b\,,\qquad \omega_{0} \equiv 2H_{\rm z} > 0
$$
Introducimos las funciones de Green-Keldysh ${\rm F}\pars{t,t'}$
y ${\rm G}\pars{t,t'}$ de caracter fermiónico:
\begin{align}
{\rm F}\pars{t,t'} & \equiv -\ic\angles{\tk b\pars{t}\sigma_{z}\pars{t'}}
\,\,= -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{b\pars{t}\sigma_{z}\pars{t'}}
+ \ic\Theta\pars{t',t}\angles{\sigma_{z}\pars{t'}b\pars{t}}
\label{defFmagnetico}
\\[3mm]
{\rm G}\pars{t,t'} & \equiv -\ic\angles{\tk b\pars{t}b\+\pars{t'}}
= -\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{b\pars{t}b\+\pars{t'}}
+ \ic\Theta\pars{t',t}\angles{b\+\pars{t'}b\pars{t}}
\label{defGmagnetico}
\end{align}
sobre el contorno de Keldysh $\ck = \ck_{-}\bigcup\ck_{+}$ siguiente:
Con las definiciones \eqref{defGmagnetico} y \eqref{defFmagnetico} se
obtiene
\begin{equation}
\angles{\sigma_{x}\pars{t}} = -4\Im\pars{{\rm F}^{<}\pars{t,t}}\,,\quad
\angles{\sigma_{y}\pars{t}} = -4\Re\pars{{\rm F}^{<}\pars{t,t}}\,,\quad
\angles{\sigma_{z}\pars{t}} = -1 - 2\ic{\rm G}^{<}\pars{t,t}
\label{relsigmaFG}
\end{equation}
\begin{align}
\ic\,\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t}
& = \delta\pars{t,t'}\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t'}}}
-\ic\angles{\tk\bracks{b\pars{t},H}b\+\pars{t'}}
\nonumber
\\[3mm] & = \delta\pars{t,t'}\
\ob{\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t}}}}{\ds{1}}\ +\
\ic\omega_{0}\angles{\tk b\pars{t}b\+\pars{t'}}
= \delta\pars{t,t'} - \omega_{0}{\rm G}\pars{t,t'}
\label{ecuGt}
\\[3mm] \mbox{Similarmente,}&
\nonumber
\\[3mm]
-\ic\,\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t'}
& = \delta\pars{t,t'}\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t'}}}
+\ic\angles{\tk b\pars{t}\bracks{b\+\pars{t'},H}}
\nonumber
\\[3mm] & = \delta\pars{t,t'}\
\ob{\angles{\braces{b\pars{t},b\+\pars{t}}}}{\ds{1}}\ +\
\ic\omega_{0}\angles{\tk b\pars{t}b\+\pars{t'}}
= \delta\pars{t,t'} - \omega_{0}{\rm G}\pars{t,t'}
\label{ecuGtp}
\end{align}
Las ecuaciones \eqref{ecuGt} y \eqref{ecuGtp} conducen a la
relación
$$
\pars{\partiald{}{t} + \partiald{}{t'}}{\rm G}\pars{t,t'} = 0
$$
Con el Método de las Características se concluye
que ${\rm G}\pars{t,t'}$ depende de $t$ y $t'$ a través de la
diferencia $t - t'$ y por tanto ${\rm G}^{<}\pars{t,t}$ es independiente
de $t$:
En conclusión ${\large\mbox{(}}$ ver relaciones
\eqref{relsigmaFG} ${\large\mbox{)}}$:
$$
\angles{\sigma_{z}\pars{t}} = \angles{\sigma_{z}\pars{t_{0}}}\,,\qquad
\forall\ t > t_{0}
$$