Formalismo de Keldysh


F. P. Marín
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Introducción: Contorno de Keldysh

Es muy simple imaginar una situación de caracter mas general donde el teorema de Gell-Mann y Low es inválido: Una situación donde el estado final del sistema es completamente diferente del estado inicial y, por tanto, en tal caso el resultado de la sección anterior es inválido.

Esta situación general requiere retornar al análisis del resultado general el cual viene dado por:

\begin{equation} \angles{A\pars{t}} = \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} {{\rm S}\pars{-\infty,t}A_{I}\pars{t}{\rm S}\pars{t,-\infty}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} \label{AvgAtOtraVez} \end{equation} En la sección anterior habíamos señalado que el producto que involucra dos series, en \eqref{AvgAtOtraVez}, podía ser reducido a una serie si la variable temporal se incrementaba en un solo sentido. Ello significa que basta considerar los instantes de tiempo en el subcontorno de ida ${\rm C_{K-}}$ $\pars{~\mbox{con}\ {\rm S}\pars{t,-\infty}~}$ como menores que ( o anteriores a ) los instantes de tiempo en el subcontorno de regreso ${\rm C_{K+}}$ $\pars{~\mbox{con}\ {\rm S}\pars{-\infty,t}~}$. Ello equivale a introducir una nueva relación de orden $\leq_{\rm K}$ en el contorno cerrado ( contorno de Keldysh ) ${\rm C_{K}} \equiv {\rm C_{K-}} \cup {\rm C_{K+}}$:

La forma del contorno de Keldysh ${\rm C_{K}}$ es irrelevante. Los subcontornos ${\rm C_{K\pm}}$ corresponden al intervalo ${\mathbb R}_{t_{0}} \equiv \pars{t_{0}, +\infty} \subseteq {\mathbb R}$. $t_{0}$ es el instante inicial. Por claridad, los segmentos que corresponden a ${\rm C_{K\pm}}$ se muestran como rectas paralelas aunque, en realidad, coinciden ( contorno degenerado ):

t0- ∞- t0+ ∞+ CK- CK+ > < $\ds{\atop\ck = \ck_{-} \cup \ck_{+}}$
 
Los subíndices $_{\pm}$ ( por ejemplo, en $t_{0\pm}$ y $+\infty_{\pm}$ ) indican el subcontorno ${\rm C_{K\pm}}$ al cual pertenecen, respectivamente, las variables temporales.
Dos instantes de tiempo $t$ y $t'$ sobre ${\rm C_{K}}$ son iguales ( denotado con $t =_{\rm K} t'$ ) si $t$ y $t'$ pertenecen al mismo subcontorno ${\rm C_{K\pm}}$ y tienen el mismo valor numérico. En caso contrario son diferentes sobre ${\rm C_{K}}$ ( denotado con $t \not=_{\rm K} t'$ ). \begin{equation} t\ \leq_{\rm K}\ t'\quad\mbox{si}\quad \left\lbrace% \begin{array}{l} t, t' \in {\rm C_{K-}}\quad\mbox{y}\quad t \leq t' \\[3mm] t \in {\rm C_{K-}}\phantom{, t'}\quad\mbox{y}\quad t' \in {\rm C_{K+}} \\[3mm] t, t' \in {\rm C_{K+}}\quad\mbox{y}\quad t \geq t' \end{array}\right. \label{defleqck} \end{equation} Las figuras ilustran las tres posibilidades en \eqref{defleqck} que definen la relación de orden $\leq_{\rm K}$:
CK- CK+ > < t t'
CK- CK+ > < t t'
CK- CK+ > < t' t

Como regla pnemotécnica; note que si recorremos $\ck_{-}$ de izquierda a derecha y retornamos de derecha a izquierda a lo kargo de $\ck_{+}$, la variable temporal se incrementa de acuerdo a la relación de orden $\leq_{\rm K}$.

La relación binaria $\leq_{\rm K}$ definida sobre ${\rm C_{K}}$ ( en \eqref{defleqck} ) es, por definición, una relación de orden puesto que satisface las propiedades:

  1. REFLEXIVIDAD: $\quad t \leq_{\rm K} t,\quad \forall\ t \in {\rm C_{K}}$
  2. ANTISIMETRÍA: $\quad t \leq_{\rm K} t',\quad t' \leq_{\rm K} t \quad\implies\quad t =_{\rm K} t',\quad \forall\ t, t' \in {\rm C_{K}}$
  3. TRANSITIVIDAD: $\quad t \leq_{\rm K} t',\quad t' \leq_{\rm K} t'' \quad\implies\quad t \leq_{\rm K} t'',\quad \forall\ t, t', t'' \in {\rm C_{K}}$
Así mismo, $\leq_{\rm K}$ es una relación de orden total puesto que dados $t, t' \in {\rm C_{K}}$ se cumple que  $t \leq_{\rm K} t'$  o  $t' \leq_{\rm K} t$.

La relación de orden $\leq_{\rm K}$ ( ver \eqref{defleqck} ) induce el operador cronológico de Keldysh $\tk$ sobre ${\rm C_{K}}$:

$\tk$ ordena, sobre el contorno de Keldysh $\ck$, de acuerdo a la relación de orden $\leq_{\rm K}$.

$\tk$ coincide con ${\rm T}$ y $\tilde{\rm T}$ sobre los subcontornos ${\rm C_{K\mp}}$, respectivamente, tal que \begin{align} {\rm S}\pars{t,-\infty} & \quad\mbox{corresponde a}\quad {\rm T_{K}} \exp\pars{-\,{\ic \over \hbar}\, \int_{-\infty_{-}}^{t_{-}}\dd t'\,V_{\rm I}\pars{t'}} \label{SMenos} \\ {\rm S}\pars{-\infty,t} & \quad\mbox{corresponde a}\quad {\rm T_{K}} \exp\pars{-\,{\ic \over \hbar}\, \int^{-\infty_{+}}_{t_{+}}\dd t'\,V_{\rm I}\pars{t'}} \label{SMas} \end{align}

Con \eqref{SMenos} y \eqref{SMas}, \eqref{AvgAtOtraVez} se reduce a \begin{align} \angles{A\pars{t}} &= \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} {{\rm S_{K}}A_{\rm I}\pars{t}} {\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} = \angles{{\rm S_{K}}A_{\rm I}\pars{t}} \label{atconsk} \\[3mm] \angles{\cdots} &\equiv \eofm{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}}{\cdots}{\Psi_{\rm I}\pars{-\infty}} = \lim_{t_{0} \to -\infty}\trace\pars{\rho\pars{t_{0}}\ldots} \\[3mm] {\rm S_{K}} & \equiv {\rm S_{K}}\pars{-\infty_{+},-\infty_{-}} = {\rm T_{K}} \exp\pars{-\,{\ic \over \hbar}\, \oint_{\rm C_{K}}\dd t'\,V_{\rm I}\pars{t'}} \\[3mm] {\rm S_{K}}A_{\rm I}\pars{t} & \equiv {\rm T_{K}} \exp\pars{-\,{\ic \over \hbar}\, \oint_{\rm C_{K}}\dd t'\,V_{\rm I}\pars{t'}A_{\rm I}\pars{t}} \end{align} ${\rm S_{K}} \equiv {\rm S_{K}}\pars{-\infty_{+},-\infty_{-}}$ es la matriz $S$ de Keldysh y la integración involucrada en su definición se realiza sobre el contorno cerrado de Keldysh ${\rm C_{K}}$ con la identificación $\displaystyle{\pars{~\int_{-\infty_{-}}^{-\infty_{+}}\ldots \equiv \oint_{\rm C_{K}}\ldots~}}$

Por ejemplo, hasta primer orden en $V$, \eqref{atconsk} es evaluada en la forma ( El resultado no depende del subcontorno al que pertenece $t$. Por ejemplo, con $t \in {\rm C_{K+}}$ ): \begin{align*} \angles{A\pars{t}} &\equiv \angles{{\rm S_{K}}A_{\rm I}\pars{t}} = \angles{\tk\bracks{% \exp\pars{-\,{\ic \over \hbar}\, \oint_{\ck}\dd t'\,V_{\rm I}\pars{t'}}A_{\rm I}\pars{t}}} \\[3mm] &\approx \angles{A_{\rm I}\pars{t}} - {\ic \over \hbar}\, \oint_{\ck}\dd t'\,\angles{\tk V_{\rm I}\pars{t'}A_{\rm I}\pars{t}} \end{align*} \begin{eqnarray*} &&\\[3mm] \delta\angles{A\pars{t}} & \equiv & \angles{A\pars{t}} - \angles{A_{\rm I}\pars{t}} \approx -\,{\ic \over \hbar}\, \oint_{\ck}\dd t'\,\angles{\tk V_{\rm I}\pars{t'}A_{\rm I}\pars{t}} \\[5mm] & = & \overbrace{\ -\,{\ic \over \hbar}\,\int_{-\infty}^{\infty}\dd t'\, \angles{A_{\rm I}\pars{t}V_{\rm I}\pars{t'}}\ } ^{\mbox{sobre}\ {\rm C_{K-}}} \\[3mm]&& \underbrace{\ -\,{\ic \over \hbar}\,\int_{\infty}^{t}\dd t'\, \angles{A_{\rm I}\pars{t}V_{\rm I}\pars{t'}} - {\ic \over \hbar}\,\int_{t}^{-\infty}\dd t'\, \angles{V_{\rm I}\pars{t'}A_{\rm I}\pars{t}}\ } _{\mbox{sobre}\ {\rm C_{K+}}} \\[5mm] & = & -\,{\ic \over \hbar}\,\int_{-\infty}^{t}\dd t'\, \angles{A_{\rm I}\pars{t}V_{\rm I}\pars{t'}} + {\ic \over \hbar}\,\int^{t}_{-\infty}\dd t'\, \pars{V_{\rm I}\pars{t'}A_{\rm I}\pars{t}} \\[3mm]&=& -\,{\ic \over \hbar}\,\int_{-\infty}^{t}\dd t'\, \angles{\bracks{A_{\rm I}\pars{t},V_{\rm I}\pars{t'}}} \\[5mm] \end{eqnarray*}

$$ \delta\angles{A\pars{t}} \approx \int_{-\infty}^{\infty}\dd t'\,\braces{% -\,{\ic \over \hbar}\,\Theta\pars{t - t'} \angles{\bracks{A_{\rm I}\pars{t},V_{\rm I}\pars{t'}}}} $$
El resultado es similar al que se obtiene en el formalismo de Zubarev de equilibrio termodinámico ( ver Quantum Mechanics. A. S. Davydov, 2a ed., Pergamon Press ( june 1976 ) ). La diferencia importante es que, en general, $\angles{\bracks{A_{\rm I}\pars{t},V_{\rm I}\pars{t'}}}$ depende de $t$ y $t'$ por separado: En general no depende de la diferencia $\pars{t - t'}$ puesto que ello viene determinado por las condiciones iniciales. En particular, $-\ic\Theta\pars{t - t'} \angles{\bracks{A_{\rm I}\pars{t},V_{\rm I}\pars{t'}}}$ $\pars{~\mbox{con}\ \hbar = 1~}$ es una Función de Green-Keldysh Retardada como veremos mas adelante.

La manipulación algebraica de la relación de orden, mencionada arriba ( ver definición \eqref{defleqck} ), sobre el contorno de Keldysh ${\rm C_{K}}$ se facilita con la introducción de la Función Salto de Heaviside a Dos Argumentos $\Theta\pars{t,t'}$ ( con $t \not= t'$ sobre ${\rm C_{K}}$ ):

$$ \Theta:{\rm C_{k}^{2}}\backslash \braces{\pars{t,t}\ \vert\ t \in \ck} \to {\mathbb R} $$ \begin{align} \Theta\pars{t,t'} &\equiv \left\lbrace% \begin{array}{lcl} \Theta\pars{t - t'} & \mbox{si} & t, t' \in {\rm C_{K-}} \\[1mm] 0 & \mbox{si} & t \in {\rm C_{K-}},\quad t' \in {\rm C_{K+}} \\[1mm] 1 & \mbox{si} & t \in {\rm C_{K+}},\quad t' \in {\rm C_{K-}} \\[1mm] \Theta\pars{t' - t} & \mbox{si} & t, t' \in {\rm C_{K+}} \end{array}\right. \end{align} donde $\Theta\pars{t}$ es la función de Heaviside usual $\Theta:{\mathbb R}\backslash\braces{0} \to {\mathbb R}$: $$ \Theta\pars{t} = \left\lbrace\begin{array}{lcrcl} 0 & \mbox{si} & t & < & 0 \\[1mm] 1 & \mbox{si} & t & > & 0 \end{array}\right. $$

Note que

\begin{equation} \tk A\pars{t}B\pars{t'} = \Theta\pars{t,t'}A\pars{t}B\pars{t'} + \Theta\pars{t',t}\bracks{\pm B\pars{t'}A\pars{t}} \label{acciontk} \end{equation} donde uno de los signos $\pm$ es escogido en una implementación particular, lo cual discutimos mas adelante.

La Delta de Dirac a Dos Argumentos $\,\delta\pars{t,t'}$ se define a través de

\begin{align} \delta\pars{t,t'} &\equiv {\partial\Theta\pars{t,t'} \over \partial t} = -\,{\partial\Theta\pars{t,t'} \over \partial t'} =\left\lbrace\begin{array}{l} \phantom{-}\delta\pars{t - t'}\ \mbox{si}\ t, t' \in {\rm C_{K-}} \\[1mm] -\delta\pars{t - t'}\ \mbox{si}\ t, t' \in {\rm C_{K+}} \\[1mm] \phantom{-}0,\ \mbox{en cualquier otro caso} \end{array}\right. \end{align} Note, por ejm, que $\displaystyle{% \oint_{C_{\rm K}}\dd t'\,\fermi\pars{t'}\delta\pars{t,t'} = \fermi\pars{t}}$ puesto que $$ \left\lbrace\begin{array}{rcl} \left.\oint_{C_{\rm K}}\dd t'\, \fermi\pars{t'}\delta\pars{t,t'}\right\vert_{\ \ t\ \in\ {\rm C_{K-}}} & =\ &\ \overbrace{\ \int_{-\infty}^{\infty}\dd t'\, \fermi\pars{t'}\delta\pars{t - t'}\ } ^{t'\ \in\ {\rm C_{K-}}}\ +\ \overbrace{\ \int^{-\infty}_{\infty}\dd t'\, \fermi\pars{t'}\times 0\ }^{t'\ \in\ {\rm C_{K+}}}\ \\[3mm]&=& \fermi\pars{t} \\[5mm] \left.\oint_{C_{\rm K}}\dd t'\, \fermi\pars{t'}\delta\pars{t,t'}\right\vert_{\ \ t\ \in\ {\rm C_{K+}}} & =\ &\ \underbrace{\ \int_{-\infty}^{\infty}\dd t'\, \fermi\pars{t'}\times 0\ } _{t'\ \in\ {\rm C_{K-}}}\ +\ \underbrace{\ \int^{-\infty}_{\infty}\dd t'\, \fermi\pars{t'}\bracks{-\delta\pars{t - t'}}\ } _{t'\ \in\ {\rm C_{K+}}}\ \\[3mm]&=& \fermi\pars{t} \end{array}\right. $$
En la próxima sección introducimos el conjunto de funciones de Green-Keldysh que permiten el cálculo sistemático de promedios ( en función del tiempo ) en Mecánica Cuántica a través del estudio de funciones de correlación.
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