Formalismo de Keldysh. F. P. Marin. Fisica. Ciencias. UCV

Solo un Conductor ( El Límite de Banda Ancha )

En tal caso es claro que ${\cal I}_{0} = 0$ ( $_{0}$ es obviamente el único índice que identifica al único reservorio ).

Una gota cuántica conectada a un reservorio.

El número medio de partículas en la gota cuántica viene dado por $\LARGE\mbox{(}$ ver expresión previa para $\angles{n}$ $\LARGE\mbox{)}$.

\begin{align*} \angles{n}& =\half\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,\rho\pars{\omega}\, {\Im\Sigma_{0}^{<}\pars{\omega} \over \Gamma\pars{\omega}} =\half\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,\rho\pars{\omega}\, {\Im\Sigma_{0}^{<}\pars{\omega} \over \Gamma_{0}\pars{\omega + eV_{0}}} \\&= \pi\sum_{\vec{k}}\rho\pars{\epsilon_{0\vec{k}} - eV_{0}} {\verts{V_{0\vec{k}}}^{2} \over \Gamma_{0}\pars{\epsilon_{0\vec{k}} - eV_{0} + eV_{0}}}\, \angles{n_{0\vec{k}}}_{0} \\&= \pi\sum_{\vec{k}} {\verts{V_{0\vec{k}}}^{2} \over \Gamma_{0}\pars{\epsilon_{0\vec{k}}}}\, \rho\pars{\epsilon_{0\vec{k}} - eV_{0}}\angles{n_{0\vec{k}}}_{0} \end{align*}

$$ \angles{n} = \sum_{\vec{k}} {\verts{V_{0\vec{k}}}^{2} \over \sum_{\vec{q}}\verts{V_{0\vec{q}}}^{2} \delta\pars{\epsilon_{0\vec{k}} - \epsilon_{0\vec{q}}}}\, \rho\pars{\epsilon_{0\vec{k}} - eV_{0}}\angles{n_{0\vec{k}}}_{0} $$

Esta expresión puede ser reescrita en la forma \begin{equation} \angles{n} = \sum_{\vec{k}} {\verts{V_{0\vec{k}}}^{2} \over \dos\pars{\epsilon_{0\vec{k}}} \angles{\verts{V_{0\vec{q}}}^{2}} _{\epsilon_{0\vec{q}}\ =\ \epsilon_{0\vec{k}}}}\, \rho\pars{\epsilon_{0\vec{k}} - eV_{0}}\angles{n_{0\vec{k}}}_{0} \label{uscp1} \end{equation} donde, en general, $$ \angles{\phi_{\nu}}_{E_{\nu} = \omega} \equiv \frac{\sum_{\nu'}\phi_{\nu'}\,\delta\pars{\omega - E_{\nu'}}} {\sum_{\nu'}\delta\pars{\omega - E_{\nu'}}} \quad\mbox{y}\quad \dos\pars{\omega} \equiv \sum_{\nu'}\delta\pars{\omega - E_{\nu'}} $$ $\nu$ es un conjunto de números cuánticos y $\dos\pars{\omega}$ es la Densidad de Estados. Similarmente, \eqref{uscp1} puede ser reescrita en la forma

\begin{equation} \angles{n} = \int_{-\infty}^{\infty} {\angles{% \verts{V_{0\vec{k}}}^{2} \angles{n_{0\vec{k}}}_{0}}_{\epsilon_{0\vec{k}} = \omega} \over \angles{\verts{V_{0\vec{q}}}^{2}} _{\epsilon_{0\vec{q}} = \omega}}\,\rho\pars{\omega - eV_{0}}\,\dd\omega \label{uscp2} \end{equation}

El Límite de Banda Ancha

En metales:

El potencial químico $\mu$ difiere, en función de la temperatura, ligeramente de la energía de Fermi $\varepsilon_{\rm F}$ la cual es el potencial químico a $0\, \kelvin$: $\mu \sim \varepsilon_{\rm F}$. Ello se origina debido a que la escala de variación de la densidad de estados de energía $\dos\pars{\omega}$ es el ancho de banda ( la diferencia entre la máxima y la mínima energía que un electrón puede tomar en sus bandas ). A su vez, $\kb T \ll \mbox{Ancho de Banda}$ y, a menudo, $\sim \varepsilon_{\rm F}$. $\kb$ es la constante de Boltzmann y $T$ es la temperatura absoluta.
Note que $\displaystyle{\varepsilon_{\rm F} \sim {\hbar^{2} \over 2md^{2}}}$ donde $d$ es una medida de la separación interelectrónica tal que $\pars{~a_{0} \approx 0.5292\ Å\ \mbox{es el}\ Radio\ de\ Bohr~}$: $$ \varepsilon_{\rm F} \sim \pars{a_{0} \over d}^{2}\ \overbrace{% {\hbar^{2} \over 2ma_{0}^{2}}}^{\displaystyle{\sim {\rm eV}}}\ \sim {\rm eV} \sim \kb \times 10^{4}\ \kelvin $$
Los electrones de conducción ocupan esencialmente una delgada capa, en energías, de ancho $\kb T$ alrededor de la Superficie de Fermi $\vphantom{\large A^a}\left(\right.$ una superficie, en $\mbox{espacio-}\vec{k}$, donde los electrones tienen energía igual a $\varepsilon_{\rm F}$ $\vphantom{\large A^a}\left)\right.$.
La temperatura de Fermi ${\rm T_{F}}$ es definida por ${\rm T_{F}} \equiv \varepsilon_{F}/\kb$ tal que $T \ll {\rm T_{F}}$. ${\rm T_{F}}$ es típicamente del orden de $10^{4}-10^{5}\ \kelvin$.
Ello permite, en muchas situaciones, el reemplazo de $\dos\pars{\omega}$ por $\dos\pars{\varepsilon_{\rm F}}$ puesto que $\kb T\dos\pars{\varepsilon_{\rm F}} \sim \kb T/\varepsilon_{\rm F} = T/{\rm T_{F}} \ll 1$.
Así mismo, las constantes de acoplamientos $\braces{V_{\eta\vec{k}}}$ varian suavemente en la vecindad de la superficie de Fermi.
La densidad espectral $\rho\pars{\omega}$ se reduce ( en el límite de Banda Ancha ) a $$ \rho\pars{\omega} ={\Gamma/\pi \over \pars{\omega - \xi}^{2} + \Gamma^{2}} ={\Gamma/\pi \over \bracks{\omega - \pars{\epsilon - eV_{G}}}^{2} + \Gamma^{2}} $$ con $\Re\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega} = 0$, $\Gamma_{\eta}\pars{\omega}\equiv\Gamma_{\eta}$ y $\Gamma\pars{\omega}\equiv\sum_{\eta}\Gamma_{\eta} \equiv\Gamma$.

Algunos valores típicos son:

Elemento	$\varepsilon_{\rm F}\ \pars{~{\rm eV}~}$	${\rm T_{F}}\ \pars{~10^{4} \kelvin~}$
Ag	$\phantom{1}5.49$	$\phantom{1}6.38$
Au	$\phantom{1}5.53$	$\phantom{1}6.42$
Be	$14.30$	$16.60$
Cs	$\phantom{1}1.59$	$\phantom{1}1.84$
Cu	$\phantom{1}7.00$	$\phantom{1}8.16$
Fe	$11.10$	$13.00$
Mg	$\phantom{1}7.08$	$\phantom{1}8.23$
Na	$\phantom{1}3.24$	$\phantom{1}3.77$
Pb	$\phantom{1}9.47$	$11.00$

Es instructivo explorar la expresión \eqref{uscp2} en el límite de Banda Ancha mencionado arriba. En tal caso, el reservorio es un sistema metálico y la matriz densidad $\rho\pars{t_{0} \to -\infty}$ en el pasado remoto viene dada por ( ver esta sección )

\begin{align} &\rho\pars{t_{0} \to -\infty} \propto \exp\pars{-\beta\bracks{H_{0} - \mu N}}\,,\qquad\beta > 0 \\[3mm] & N= \underbrace{\sum_{\vec{k}}a_{0\vec{k}}\+a_{0\vec{k}}}_{\large N_{0}}\ +\ \underbrace{b\+b}_{\large n} \end{align}

Note que $\rho\pars{t_{0} \to -\infty}$ NO conmuta con $H$ ( ver Balance Energético ) puesto que: \begin{align*} \bracks{H_{0} - \mu N,H} &=\bracks{H_{0} - \mu\pars{N_{0} + n},H_{0} - eV_{0}N_{0} - eV_{G}n} =-eV_{0}\bracks{H_{0},N_{0}} - eV_{G}\bracks{H_{0},n} \\[3mm]&=-eV_{0}\ \underbrace{\bracks{H_{0},N_{0} + n}} _{\color{red}{\large=\ 0}}\ + eV_{0}\bracks{H_{0},n} - eV_{G}\bracks{H_{0},n} \end{align*} $$ \begin{array}{|c|}\hline\\ \mbox{}\\ \bracks{H_{0} - \mu N,H} = -e\pars{V_{G} - V_{0}}\bracks{H_{0},n} \\ \mbox{}\\ \hline \end{array} $$ \begin{array}{|c|}\hline\\[1mm] \quad\mbox{Note que}\quad\bracks{H_{0} - \mu N,H} = 0\quad \mbox{si}\quad V_{G} = V_{0}\quad\mbox{o/y}\quad\bracks{H_{0},n} = 0.\quad \\ \\ \hline \end{array}
$\bracks{H_{0},n} = 0$, por ejm, cuando $V_{0\vec{k}} = 0\,,\forall\ \vec{k}$.

Podemos imaginar que esta condición inicial corresponde al caso de equilibrio termodinámico tal que $\mu$ es el potencial químico y $\beta \equiv \pars{\kb T}^{-1}$ donde $T$ es la temperatura absoluta. Es obvio entonces que $$ \angles{n_{0\vec{k}}}_{0} ={1 \over \expo{\beta\pars{\epsilon_{0\vec{k}}\, -\, \mu}} + 1} \equiv \fermi\pars{\epsilon_{0\vec{k}} - \mu} $$

Note que \eqref{uscp2} puede reescribirse ( en el límite de Banda Ancha ) como

\begin{align*} \angles{n} &= \int_{-\infty}^{\infty}\fermi\pars{\omega - \mu} \rho\pars{\omega - eV_{0}}\,\dd\omega = \int_{-\infty}^{\infty}\fermi\pars{\omega} \rho\pars{\omega + \mu - eV_{0}}\,\dd\omega \\[3mm]&= \int_{-\infty}^{\infty} {\Gamma/\pi \over \pars{\omega + \mu - eV_{0} - \epsilon + eV_{G}}^{2} + \Gamma^{2}}\, \fermi\pars{\omega}\,\dd\omega \end{align*} Escogiendo $V_{0}$ como el origen de potencial eléctrico $\pars{~V_{0} = 0~}$ se obtiene:

\begin{align} \angles{n} &= \int_{-\infty}^{\infty} {\Gamma/\pi \over \bracks{\omega - \pars{\epsilon - \mu - eV_{G}}}^{2} + \Gamma^{2}}\, \fermi\pars{\omega}\,\dd\omega\nonumber \\[3mm]&=\half - {1 \over \pi}\, \Im\Psi\pars{\half + {\Gamma + \bracks{\epsilon - \mu - eV_{G}}\ic \over 2\pi\kb T}} \end{align} $\Psi$ es la función Digamma y $\verts{\Im\Psi\pars{z}} < \pi/2$.

Algunos casos límites interesantes son:

${\large\Gamma \to 0^{+}}$: $$ \angles{n} = {1 \over \expo{\beta\pars{\epsilon - \mu - eV_{G}}} + 1} =\fermi\pars{\bracks{\epsilon - eV_{G}} - \mu} $$
${\large T \to 0^{+}}$: $$ \angles{n} = \half - {1 \over \pi}\, \arctan\pars{\bracks{\epsilon - eV_{G}} - \mu \over \Gamma} $$

El siguiente gráfico interactivo ilustra la conducta de $\angles{n} = 1/2 - \arctan\pars{E/\Gamma}/\pi$ en unidades adimensionales de $E=\epsilon - \mu - eV_{G}$ y $\Gamma$:

Γ 0

$1$

-$2$ $E$ $2$