Consideremos un modelo simple de una gota cuántica $GC$ en
contacto con varios reservorios como indica el diagrama a
continuación:
En este caso particular solo ilustramos, por simplicidad, cuatro
reservorios: El círculo simboliza la gota
cuántica $GC$ mientras las lineas simbolizan los
reservorios.
Las partículas que circulan a lo largo del sistema
formado por los reservorios y $GC$ son, por simplicidad, fermiones
sin espin. A la gota cuántica $GC$ se le ha aplicado un
potencial eléctrico $V_{G}$ y a cada reservorio se le ha
aplicado un potencial eléctrico $V_{\eta}$.
$\braces{\eta}$ son índices que identifican los reservorios.
\begin{equation}
H_{0}
=
\sum_{\eta\vec{k}}\epsilon_{\eta\vec{k}}
a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}\
+\
\epsilon\,b^{\dagger}b\
+\
\sum_{\eta\vec{k}}
\pars{V_{\eta\vec{k}}^{*}\,a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}b\
+\
V_{\eta\vec{k}}\,b^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}}
\label{hamH0}
\end{equation}
La interacción intraatómica, en la gota cuántica
$GC$, es obviamente nula puesto que la gota cuántica
$GC$ es un sistema a un nivel:
\begin{align*}
& \half\int_{\vec{r},\,\vec{r}\,'\ \in\ {\mathbb R}^{3}}
\bracks{\Phi^{*}\pars{\vec{r}}b\+}\bracks{\Phi^{*}\pars{\vec{r}\,'}b\+}
{\rm V}\pars{\vec{r} - \vec{r}\,'}
\bracks{\Phi\pars{\vec{r}\,'}b}\bracks{\Phi\pars{\vec{r}}b}\,
\dd^{3}\vec{r}\,\dd^{3}\vec{r}\,'
\\[3mm] = & \pars{%
\half\int_{\vec{r},\,\vec{r}\,'\ \in\ {\mathbb R}^{3}}
\verts{\Phi\pars{\vec{r}}}^{2}\verts{\Phi\pars{\vec{r}\,'}}^{2}
{\rm V}\pars{\vec{r} - \vec{r}\,'}
\,\dd^{3}\vec{r}\,\dd^{3}\vec{r}\,'}\
\ob{{b\+}^{2}}{\ds{=\ 0}}\ \ub{b^{2}}{\ds{=\ 0}}\
=\ {\LARGE\fbox{$\ds{0}$}}
\end{align*}
$\Phi\pars{\vec{r}}$ es la función de onda del único
estado, en consideración, de la gota cuántica $GC$
y ${\rm V}\pars{\vec{r} - \vec{r}\,'}$ es la interacción entre
dos electrones localizados en $\vec{r}$ y $\vec{r}\,'$. Para el
propósito del ejemplo presente es conveniente considerar que otros
estados no participan, por diversas razones, en los procesos descritos en
estas notas. Sin embargo, en la representación de
número y debido al intercambio de partículas con los
reservorios, la gota cuántica es un sistema a dos
niveles: 1) Desocupado y 2) Ocupado.
$a_{\eta\vec{k}}$ $\pars{a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}}$ destruye
( crea ) una excitación de
energía $\epsilon_{\eta\vec{k}}$ en el
reservorio $\eta$:
$$
\braces{a_{\eta\vec{k}},a_{\eta'\vec{k'}}\+}
= \delta_{\eta\eta'}\delta_{\vec{k}\vec{k'}}\,,\quad
\left\vert\braces{a_{\eta\vec{k}},a_{\eta'\vec{k'}}}
= 0\quad\imp\quad
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
a_{\eta\vec{k}}^{2} & = & 0
\\[2mm]
{a_{\eta\vec{k}}\+}^{2} & = & 0
\end{array}\right.
\right.
$$
El primer término
$\pars{~\sum_{\eta\vec{k}}\epsilon_{\eta\vec{k}}
a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}~}$ describe al
conjunto de reservorios indexados por $\braces{\eta}$.
El segundo término
$\pars{ \epsilon\,b^{\dagger}b }$
describe a la gota cuántica $GC$.
El último término
$$
H_{T}
\equiv
\sum_{\eta\vec{k}}
\pars{V_{\eta\vec{k}}\,a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}b
+
V_{\eta\vec{k}}^{*}\,b^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}}\,,
\qquad\qquad
\eta = F, S
$$
es una hibridización o/y término de
Túnel entre la gota cuántica $GC$ y los
reservorios. $\braces{V_{\eta\vec{k}}}$ son constantes de
acoplamiento.
$N_{\eta}
\equiv
\sum_{\vec{k}}a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}
a_{\eta\vec{k}}$ es el operador número
de partículas en el reservorio $\eta$ y
$n \equiv b^{\dagger}b$ es el operador número de
partículas en la gota cuántica $GC$.
Note que $-e < 0$ es la carga del electrón tal
que $e > 0$.
En presencia de los potenciales aplicados, el hamiltoniano viene dado
por $\large\mbox{(}$ ver \eqref{hamH0} $\large\mbox{)}$
$H =
H_{0} + \sum_{\eta}\pars{-eV_{\eta}}N_{\eta} + \pars{-eV_{G}}n
$
\begin{align}
H
&=
\sum_{\eta\vec{k}}\xi_{\eta\vec{k}}\,
a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}
+
\xi\,b^{\dagger}b
+
\sum_{\eta\vec{k}}
\pars{V_{\eta\vec{k}}\,a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}b
+
V_{\eta\vec{k}}^{*}\,b^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}}
\label{HConPot}
\\[3mm]&
\left\vert%
\begin{array}{ccl}
\xi_{\eta\vec{k}} & \equiv & \epsilon_{\eta\vec{k}} - eV_{\eta}
\\[1mm]
\xi & \equiv & \epsilon - eV_{G}
\end{array}\right.
\label{hamiltpot}
\end{align}
$V_{G}$ es el potencial compuerta ( del
inglés 'gate' ) el
cual modula la posición de la excitación de
energía de la gota cuántica y por tanto tiene una
influencia decisiva en la conducta del sistema.
La justificación del modelo de Anderson generalizado puede
visualizarse a través del Método de
Pseudopotenciales. En realidad, la derivación rigurosa del
modelo condujo a una motivación del método mencionado
arriba. A su vez, ello provee una definición de las constantes
de acoplamiento $\braces{V_{\vec{k}}}$ y por lo tanto de su
evaluación a partir de primeros principios. Ver, por ejm,
Solid State Theory, Walter A. Harrison, Dover
1980, cap. V, pag. 480.