Formalismo de Keldysh

Gota Cuántica en Contacto con Varios Reservorios

Consideremos un modelo simple de una gota cuántica $GC$ en contacto con varios reservorios como indica el diagrama a continuación:

En este caso particular solo ilustramos, por simplicidad, cuatro reservorios: El círculo simboliza la gota cuántica $GC$ mientras las lineas simbolizan los reservorios.

Las partículas que circulan a lo largo del sistema formado por los reservorios y $GC$ son, por simplicidad, fermiones sin espin. A la gota cuántica $GC$ se le ha aplicado un potencial eléctrico $V_{G}$ y a cada reservorio se le ha aplicado un potencial eléctrico $V_{\eta}$. $\braces{\eta}$ son índices que identifican los reservorios.

El hamiltoniano $H_{0}$ del sistema viene dado por una generalización del modelo de Anderson-Friedel ( ver Localized Magnetic States in Metals. P. W. Anderson, Phys. Rev. 124 41, ( 1961 ) ):

\begin{equation} H_{0} = \sum_{\eta\vec{k}}\epsilon_{\eta\vec{k}} a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}\ +\ \epsilon\,b^{\dagger}b\ +\ \sum_{\eta\vec{k}} \pars{V_{\eta\vec{k}}^{*}\,a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}b\ +\ V_{\eta\vec{k}}\,b^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}} \label{hamH0} \end{equation} La interacción intraatómica, en la gota cuántica $GC$, es obviamente nula puesto que la gota cuántica $GC$ es un sistema a un nivel: \begin{align*} & \half\int_{\vec{r},\,\vec{r}\,'\ \in\ {\mathbb R}^{3}} \bracks{\Phi^{*}\pars{\vec{r}}b\+}\bracks{\Phi^{*}\pars{\vec{r}\,'}b\+} {\rm V}\pars{\vec{r} - \vec{r}\,'} \bracks{\Phi\pars{\vec{r}\,'}b}\bracks{\Phi\pars{\vec{r}}b}\, \dd^{3}\vec{r}\,\dd^{3}\vec{r}\,' \\[3mm] = & \pars{% \half\int_{\vec{r},\,\vec{r}\,'\ \in\ {\mathbb R}^{3}} \verts{\Phi\pars{\vec{r}}}^{2}\verts{\Phi\pars{\vec{r}\,'}}^{2} {\rm V}\pars{\vec{r} - \vec{r}\,'} \,\dd^{3}\vec{r}\,\dd^{3}\vec{r}\,'}\ \ob{{b\+}^{2}}{\ds{=\ 0}}\ \ub{b^{2}}{\ds{=\ 0}}\ =\ {\LARGE\fbox{$\ds{0}$}} \end{align*} $\Phi\pars{\vec{r}}$ es la función de onda del único estado, en consideración, de la gota cuántica $GC$ y ${\rm V}\pars{\vec{r} - \vec{r}\,'}$ es la interacción entre dos electrones localizados en $\vec{r}$ y $\vec{r}\,'$. Para el propósito del ejemplo presente es conveniente considerar que otros estados no participan, por diversas razones, en los procesos descritos en estas notas. Sin embargo, en la representación de número y debido al intercambio de partículas con los reservorios, la gota cuántica es un sistema a dos niveles: 1) Desocupado y 2) Ocupado.

• $a_{\eta\vec{k}}$ $\pars{a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}}$ destruye ( crea ) una excitación de energía $\epsilon_{\eta\vec{k}}$ en el reservorio $\eta$: $$ \braces{a_{\eta\vec{k}},a_{\eta'\vec{k'}}\+} = \delta_{\eta\eta'}\delta_{\vec{k}\vec{k'}}\,,\quad \left\vert\braces{a_{\eta\vec{k}},a_{\eta'\vec{k'}}} = 0\quad\imp\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} a_{\eta\vec{k}}^{2} & = & 0 \\[2mm] {a_{\eta\vec{k}}\+}^{2} & = & 0 \end{array}\right. \right. $$
• $b$ $\pars{b^{\dagger}}$ destruye ( crea ) una excitación de energía $\epsilon$ en la gota cuántica $GC$: $$ \begin{array}{c} \braces{b,b\+} = 1\,,\quad \left\vert\braces{b,b} = 0\,,\quad\imp\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} b^{2} & = & 0 \\[2mm] {b\+}^{2} & = & 0 \end{array}\right.\right. \\[2mm] \braces{b,a_{\eta\vec{k}}} = 0\,,\quad \braces{b,a_{\eta\vec{k}}\+} = 0 \end{array} $$
• El primer término $\pars{~\sum_{\eta\vec{k}}\epsilon_{\eta\vec{k}} a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}~}$ describe al conjunto de reservorios indexados por $\braces{\eta}$.
• El segundo término $\pars{ \epsilon\,b^{\dagger}b }$ describe a la gota cuántica $GC$.
• El último término $$ H_{T} \equiv \sum_{\eta\vec{k}} \pars{V_{\eta\vec{k}}\,a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}b + V_{\eta\vec{k}}^{*}\,b^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}}\,, \qquad\qquad \eta = F, S $$ es una hibridización o/y término de Túnel entre la gota cuántica $GC$ y los reservorios. $\braces{V_{\eta\vec{k}}}$ son constantes de acoplamiento.
• $N_{\eta} \equiv \sum_{\vec{k}}a_{\eta\vec{k}}^{\dagger} a_{\eta\vec{k}}$ es el operador número de partículas en el reservorio $\eta$ y $n \equiv b^{\dagger}b$ es el operador número de partículas en la gota cuántica $GC$.

En presencia de los potenciales aplicados, el hamiltoniano viene dado por $\large\mbox{(}$ ver \eqref{hamH0} $\large\mbox{)}$ $H = H_{0} + \sum_{\eta}\pars{-eV_{\eta}}N_{\eta} + \pars{-eV_{G}}n $

\begin{align} H &= \sum_{\eta\vec{k}}\xi_{\eta\vec{k}}\, a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}a_{\eta\vec{k}} + \xi\,b^{\dagger}b + \sum_{\eta\vec{k}} \pars{V_{\eta\vec{k}}\,a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}b + V_{\eta\vec{k}}^{*}\,b^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}} \label{HConPot} \\[3mm]& \left\vert% \begin{array}{ccl} \xi_{\eta\vec{k}} & \equiv & \epsilon_{\eta\vec{k}} - eV_{\eta} \\[1mm] \xi & \equiv & \epsilon - eV_{G} \end{array}\right. \label{hamiltpot} \end{align} $V_{G}$ es el potencial compuerta ( del inglés 'gate' ) el cual modula la posición de la excitación de energía de la gota cuántica y por tanto tiene una influencia decisiva en la conducta del sistema.

La justificación del modelo de Anderson generalizado puede visualizarse a través del Método de Pseudopotenciales. En realidad, la derivación rigurosa del modelo condujo a una motivación del método mencionado arriba. A su vez, ello provee una definición de las constantes de acoplamiento $\braces{V_{\vec{k}}}$ y por lo tanto de su evaluación a partir de primeros principios. Ver, por ejm, Solid State Theory, Walter A. Harrison, Dover 1980, cap. V, pag. 480.