Apéndice A. Utilidades
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NIST HandBook of Mathematical Functions.
Eds. by F. W. Olmer, D. W. Lozier, R. F. Boisvert and C. W. Clark.
Cambridge University Press 2010.
Los recuadros verdes
$\,$, en las
tablas a continuación, indican la convención para las
Transformadas de Fourier que se usan en estas notas. Ello refleja
la convención usual en Mecánica Cuántica: Por
ejemplo; la función de onda
$\ds{\propto \expo{\ic\pars{kx - \omega t}} \propto
\expo{-\ic\omega t}}$, en una dimensión, describe una
partícula con momento lineal $\ds{\hbar k\,\hat{x}}$ y
energía $\ds{\hbar\omega}$.
Note que usamos, por simplicidad, la notación
${\rm g}\pars{\omega}$ o/y ${\rm G}\pars{\omega,\omega'}$, en frecuencias
$\omega$'s o/y $\omega'$'s, para la transformada de Fourier de
${\rm g}\pars{t}$ o/y ${\rm G}\pars{t,t'}$ mientras la notación
usual en la literatura es
$\hat{\rm g}\pars{\omega}$ o $\wt{\rm g}\pars{\omega}$
$\pars{~\mbox{o/y}\ \hat{\rm G}\pars{\omega,\omega'}\ \mbox{o}\
\wt{\rm G}\pars{\omega,\omega'}~}$
a la cual podríamos recurrir eventualmente si se presentare
alguna ambiguedad.
| $\ds{\Phi\pars{t} =
\int_{-\infty}^{\infty}\Phi\pars{\omega}\expo{-\ic\omega t}\,
{\dd\omega \over 2\pi}}$ |
$\ds{\Phi\pars{\omega} =
\int_{-\infty}^{\infty}\Phi\pars{t}\expo{\ic\omega t}\,
\dd t}$ |
|---|
| $\ds{-\ic\Theta\pars{t}}$ |
$\ds{1 \over \omega + \ic 0^{+}}$ |
| $\ds{-\ic\Theta\pars{t}\expo{-\ic Et}}$ |
$\ds{1 \over \omega - E + \ic 0^{+}}$ |
| $\ds{\ic\Theta\pars{-t}}$ |
$\ds{1 \over \omega - \ic 0^{+}}$ |
| $\ds{\ic\Theta\pars{-t}\expo{-\ic Et}}$ |
$\ds{1 \over \omega - E - \ic 0^{+}}$ |
| $\ds{-\ic\Theta\pars{t}\phi\pars{t}}$ |
$\ds{\int_{-\infty}^{\infty}
{\phi\pars{\omega'} \over \omega - \omega' + \ic 0^{+}}\,
{\dd\omega' \over 2\pi\ic}}$ |
| $\ds{\ic\Theta\pars{-t}\phi\pars{t}}$ |
$\ds{\int_{-\infty}^{\infty}
{\phi\pars{\omega'} \over \omega - \omega' - \ic 0^{+}}\,
{\dd\omega' \over 2\pi\ic}}$ |
| $\ds{-\ic\Theta\pars{t}{\rm A}\pars{-t}{\rm B}\pars{t}}$ |
$\ds{\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}
{{\rm A}\pars{\omega'}{\rm B}\pars{\omega''} \over
\omega + \omega' - \omega'' + \ic 0^{+}}
\,{\dd\omega'\,\dd\omega'' \over
\pars{2\pi}^{2}}}$ |
| $\ds{\Phi\pars{t,t'} =
\int_{-\infty}^{\infty}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}\!\!\!\!\!
\Phi\pars{\omega,\omega'}
\expo{-\ic\pars{\omega t - \omega't'}}\,
{\dd\omega\,\dd\omega' \over \pars{2\pi}^{2}}}$ |
$\ds{\Phi\pars{\omega,\omega'} =
\int_{-\infty}^{\infty}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}\!\!\!\!\!
\Phi\pars{t,t'}\expo{\ic\pars{\omega t - \omega't'}}\,
\dd t\,\dd t'}$ |
|---|
| $\ds{\Phi\pars{t - t'}}$ |
$\ds{2\pi\,\delta\pars{\omega - \omega'}
\Phi\pars{\omega}}$ |
| $\ds{-\ic\Theta\pars{t - t'}\varphi\pars{t,t'}}$ |
$\ds{\int_{-\infty}^{\infty}{%
\varphi\pars{\omega - \omega'',\omega' - \omega''} \over
\omega'' + \ic 0^{+}}\,{\dd\omega'' \over 2\pi}}$ |
| $\ds{\ic\Theta\pars{t' - t}\varphi\pars{t,t'}}$ |
$\ds{\int_{-\infty}^{\infty}{%
\varphi\pars{\omega - \omega'',\omega' - \omega''} \over
\omega'' - \ic 0^{+}}\,{\dd\omega'' \over 2\pi}}$ |
| $\ds{\int_{-\infty}^{\infty}\varphi\pars{t,t''}
\phi\pars{t'',t'}\,\dd t''}$ |
$\ds{\int_{-\infty}^{\infty}
\varphi\pars{\omega,\omega''}\phi\pars{\omega'',\omega'}
\,{\dd\omega'' \over 2\pi}}$ |
| $\ds{\int_{-\infty}^{\infty}\varphi\pars{t - t''}
\phi\pars{t'',t'}\,\dd t''}$ |
$\ds{\varphi\pars{\omega}\phi\pars{\omega,\omega'}}$ |
| $\ds{\int_{-\infty}^{\infty}\varphi\pars{t - t''}
\phi\pars{t'' - t'}\,\dd t''}$ |
$\ds{2\pi\,\delta\pars{\omega - \omega'}\varphi\pars{\omega}
\phi\pars{\omega}}$ |
| $\ds{\varphi\pars{t - t'}\phi\pars{t,t'}}$ |
$\ds{\int_{-\infty}^{\infty}
\varphi\pars{\omega''}
\phi\pars{\omega - \omega'',\omega' - \omega''}
\,{\dd\omega'' \over 2\pi}}$ |
PolyGammas: Expansiones Asintóticas
La Función Gamma
$\Gamma:{\mathbb C}\backslash\braces{0,-1,-2,-3,\ldots} \to {\mathbb C}$
posee el siguiente comportamiento asintótico:
\begin{align}
\ln\pars{\Gamma\pars{z}}
& \sim
\pars{z-\half}\ln\pars{z} - z + \half\ln\pars{2\pi} + {1 \over 12z}
-
{1 \over 360z^{3}} + {1 \over 1260z^{5}} + \cdots
\label{ealngz}
\\[3mm] &
\verts{z} \to \infty\,,\quad\verts{\arg\pars{z}} < \pi
\nonumber
\end{align}
Usando la
Fórmula de Duplicación
$$
\Gamma\pars{2z}
=
\pi^{-1/2}2^{2z - 1}\,\Gamma\pars{z}\Gamma\pars{\half + z}
$$
se puede reescribir $\ln\pars{\Gamma\pars{1/2 + z}}$ en la forma
siguiente:
$$
\ln\pars{\Gamma\pars{\half +z}}
=
\half\ln\pars{\pi} + \pars{1-2z}\ln\pars{2} + \ln\pars{\Gamma\pars{2z}}
-
\ln\pars{\Gamma\pars{z}}
$$
Reemplazando la expansión asintótica \eqref{ealngz}:
\begin{eqnarray*}
\ln\pars{\Gamma\pars{\half + z}}
& = &
\half\ln\pars{\pi} + \pars{1-2z}\ln\pars{2}
\\ &&
+ \bracks{\pars{2z - \half}\ln\pars{2z} - 2z + \half\,\ln\pars{2\pi}
+ {1 \over 24z} - {1 \over 2880z^{3}} + {1 \over 40320z^{5}} + \cdots}
\\&&
- \bracks{\pars{z - \half}\ln\pars{z} - z + \half\,\ln\pars{2\pi}
+ {1 \over 12z} - {1 \over 360z^{3}} + {1 \over 1260z^{5}} + \cdots}
\end{eqnarray*}
se obtiene
\begin{align}
\ln\pars{\Gamma\pars{\half + z}} & \sim
z\ln\pars{z} - z + \half\,\ln\pars{2\pi} - {1 \over 24z}
+
{7 \over 2880z^{3}} - {31 \over 40320z^{5}} + \cdots
\end{align}
Las funciones
Trigamma $\Psi'$,
Tetragamma $\Psi''$,
etc$\ldots$ ( en general,
PolyGammas ) se definen como
derivadas de la función
Digamma $\Psi$:
$$
\Psi\pars{z} \equiv \totald{\ln\pars{\Gamma\pars{z}}}{z}
$$
Resumiendo:
\begin{align}
\ln\pars{\Gamma\pars{z}}
& \sim
\pars{z-\half}\ln z - z + \half\ln\pars{2\pi} + \frac{1}{12z}
-
\frac{1}{360z^{3}} + {1 \over 1260z^{5}} + \cdots
\\[3mm]
\ln\pars{\Gamma\pars{\half + z}} & \sim
z\ln\pars{z} - z + \half\,\ln\pars{2\pi} - {1 \over 24z}
+
{7 \over 2880z^{3}} - {31 \over 40320z^{5}} + \cdots
\end{align}
\begin{align}
\Psi\pars{z}
& \sim
\ln\pars{z} - {1 \over 2z} - {1 \over 12z^{2}}
+
{1 \over 120z^{4}} - {1 \over 252z^{6}} + \cdots
\\[3mm]
\Psi\pars{\half + z} & \sim
\ln\pars{z} + {1 \over 24z^{2}} - {7 \over 960z^{4}} +
{31 \over 8064z^{6}} + \cdots
\end{align}
\begin{align}
\Psi'\pars{z}
& \sim
{1 \over z} + {1 \over 2z^{2}} + {1 \over 6z^{3}}
-
{1 \over 30z^{5}} + {1 \over 42z^{7}} + \cdots
\\[3mm]
\Psi'\pars{\half + z} & \sim
{1 \over z} - {1 \over 12z^{3}} + {7 \over 240z^{5}} -
{31 \over 1344z^{7}} + \cdots
\end{align}
\begin{align}
\Psi''\pars{z}
& \sim
-\,{1 \over z^{2}} - {1 \over z^{3}} - {1 \over 2z^{4}} +
{1 \over 6z^{6}} - {1 \over 6z^{8}} + \cdots
\\[3mm]
\Psi''\pars{\half + z} & \sim
-\,{1 \over z^{2}} + {1 \over 4z^{4}} - {7 \over 48z^{6}} +
{31 \over 192z^{8}} + \cdots
\end{align}
\begin{align}
\Psi'''\pars{z}
& \sim
{2 \over z^{3}} + {3 \over z^{4}} + {2 \over z^{5}} -
{1 \over z^{7}} + {4 \over 3z^{9}} + \cdots
\\[3mm]
\Psi'''\pars{\half + z} & \sim
{2 \over z^{3}} - {1 \over z^{5}} + {7 \over 8z^{7}} -
{31 \over 24z^{9}} + \cdots
\end{align}
\begin{align}
\Psi^{\pars{\tt IV}}\pars{z}
& \sim
-\,{6 \over z^{4}} - {12 \over z^{5}} - {10 \over z^{6}} +
{7 \over z^{8}} - {12 \over z^{10}} + \cdots
\\[3mm]
\Psi^{\pars{\tt IV}}\pars{\half + z} & \sim
-\,{6 \over z^{4}} + {5 \over z^{6}} - {49 \over 8z^{8}} +
{93 \over 8z^{10}} + \cdots
\end{align}
${\large\tt\mbox{etc}\ldots}$
Otros Resultados
Con $\Im\pars{E} < 0$, ${\rm W} \gg \verts{E}$ y ${\rm W} \gg \kb T$:
\begin{equation}
\int_{\rm -W}^{\rm W}{\fermi\pars{\omega} \over \omega - E} \sim
-\,{\pi \over 2}\,\ic + \ln\pars{2\pi\kb T \over {\rm W}} +
\Psi\pars{\half + {E \over 2\pi\kb T}\,\ic}
\label{intome}
\end{equation}
donde
$\ds{\fermi\pars{\omega} \equiv {1 \over \expo{\beta\omega} + 1}}$ es
la Función de Distribución de Fermi-Dirac.
$\ds{\beta \equiv {1 \over \kb T}}$. $\ds{T > 0}$ es la temperatura
absoluta y $\Psi\pars{z}$ es la Función Digamma.
Con el resultado \eqref{intome} se obtiene
$$
\quad\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma} \equiv
\int_{-\infty}^{\infty}{\Gamma/\pi \over
\pars{\omega - \varepsilon}^{2} + \Gamma^{2}}\,\fermi\pars{\omega}\,
\dd\omega = \half - {1 \over \pi}\,
\Im\Psi\pars{\half + {\Gamma + \varepsilon\ic \over 2\pi\kb T}}\quad
$$
donde
$\ds{\quad\varepsilon \in {\mathbb R}\,,\quad\Gamma > 0
\quad\mbox{y}\quad-\,{\pi \over 2} <
\Im\Psi\pars{\half + {\Gamma + \varepsilon\ic \over 2\pi\kb T}} <
{\pi \over 2}}$.
Algunas propiedades interesantes $\pars{~\mbox{con}\ \Gamma > 0~}$ son:
- $\ds{0 < \fermi\pars{\varepsilon,\Gamma} < 1\,,\quad
\lim_{\Gamma\ \to\ 0^{+}}\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma} =
\fermi\pars{\varepsilon}\,,\quad
\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma} =
1 - \fermi\pars{-\varepsilon,\Gamma}}$.
- $\ds{\lim_{\varepsilon\ \to\ -\infty}\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma}
= 1\,,\quad\fermi\pars{0,\Gamma} = \half\,,\quad
\lim_{\varepsilon\ \to\ \infty}\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma}
= 0}$.
- $\ds{T \to 0^{+}}$:
\begin{align*}
\left.\lim_{T\ \to\ 0^{+}}\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma}
\right\vert_{\Gamma\ >\ 0} & =
\left\lbrace\begin{array}{lcrcl}
\half - {1 \over \pi}\,\arctan\pars{\varepsilon \over \Gamma}
& \mbox{si} & \verts{\varepsilon \over \Gamma} & \leq & 1
\\[2mm]
\Theta\pars{-\varepsilon} + {1 \over \pi}\,
\arctan\pars{\Gamma \over \varepsilon} & \mbox{si} &
\verts{\varepsilon \over \Gamma} & > & 1
\end{array}\right.
\\[2mm] & \mbox{}
\end{align*}
- $\ds{\kb T \ll {\raiz{\varepsilon^{2} + \Gamma^{2}} \over 2\pi}}$:
$$
\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma} \approx \bracks{%
\lim_{T\ \to\ 0^{+}}\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma}} +
{\pi \over 3}\,
{\varepsilon\Gamma \over \pars{\varepsilon^{2} + \Gamma^{2}}^{2}}\,
\pars{\kb T}^{2}
$$
- $\ds{\kb T \gg {\raiz{\varepsilon^{2} + \Gamma^{2}} \over 2\pi}}$:
$$
\fermi\pars{\varepsilon,\Gamma} \approx
\half - {\varepsilon \over 4\kb T}\ -\
\ub{{1 \over 4\pi^{3}}\ \ob{\Psi\,''\pars{\half}}
{\ds{\approx -16.83}}}{\ds{\approx -0.14}}\
{\varepsilon\Gamma \over \pars{\kb T}^{2}}
$$
Al derivar estas propiedades hemos usado, en algunos casos, las
expansiones asintóticas de las funciones polyGammas, enumeradas
arriba, y $\Psi\,'\pars{1/2} = \pi^{2}/2 \approx 4.9348$.
Ejemplos Simples de Funciones de Green
El primer ejemplo ( deliberadamente extenso ), aunque
extremadamente simple, muestra la motivación general para
introducir el Método de las Funciones de
Green: Convertir una ecuación diferencial en una
expresión integral o, en un caso mas general, en una
ecuación integral.
La analogía con Álgebra Lineal es particularmente
util.
- $\ds{{\rm y}'\pars{x} = {\rm s}\pars{x}\,,\quad
{\rm y}, {\rm s}:{\mathbb R} \to {\mathbb R}\,,\quad
{\rm y}\pars{a} = y_{a}}$.
Esta ecuación puede ser resuelta por simple
integración, respecto $x$ sobre $\pars{a,x}$ o $\pars{x,a}$,
de ambos miembros:
$$
{\rm y}\pars{x} = y_{a} + \int_{a}^{x}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
$$
Sin embargo, su simplicidad nos permite ejemplificar el
Método de las Funciones de Green mediante una
analogía con Álgebra Lineal.
La ecuación diferencial ${\rm y}'\pars{x} = {\rm s}\pars{x}$
mantiene su forma si agregamos una constante
$\pars{~\mbox{independiente de}\ x~}$ a ${\rm y}\pars{x}$ la
cual es una solución particular de la ecuación
homogenea ${\rm y}'\pars{x} = 0$. El propósito de la
condición de frontera ${\rm y}\pars{a} = y_{a}$ es
eliminar
esta indefinición.
En los ejemplos a continuación usamos, a menudo, la
adición de una solución particular
que
satisface las condiciones de frontera ( una solución de
la ecuación homogenea ) con el propósito de
establecer condiciones homogeneas ( mas simples )
para la función de Green.
En este ejemplo notamos que la acción del operador
diferencial $\dos$ sobre una función
${\rm y}:{\mathbb R} \to {\mathbb R}$ genera
una
función dada ${\rm s}:{\mathbb R} \to {\mathbb R}$. Es
decir:
\begin{align}
\dos{\rm y} & = {\rm s}
\label{ypxisx}
\\ \mbox{tal que}\ {\rm s}\pars{x} & =
\dd{\rm y}\pars{x}/\dd x \equiv {\rm y}'\pars{x}
\end{align}
La expresión \eqref{ypxisx} es similar, en algunos aspectos,
al problema de álgebra lineal $\mat{D}\vec{y} = \vec{s}$
donde $\mat{D}$ es una matriz $n \times n$. $n \in {\mathbb N}_{+}$.
$\vec{y}$ y $\vec{s}$ son vectores $n$-dimensionales: $\vec{y}$
es un vector a determinar y $\vec{s}$ es un vector dado.
$\det\pars{\mat{D}} \not= 0$ tal que $\mat{D}^{-1}$ existe.
Se puede agregar un vector constante
$\vec{y}_{0}$
$\pars{~\mat{D}\vec{y}_{0} = \vec{0}~}$ a $\vec{y}$ sin alterar la
ecuación original. Sin embargo, $\vec{y}_{0}$ es
idénticamente nulo $\pars{~\vec{y}_{0} = \vec{0}~}$ tal que
una condición de frontera es innecesaria o/y redundante. Este
problema se resuelve escribiendo $\vec{y}$ en la forma
\begin{equation}
\vec{y} = \mat{G}\vec{s}\qquad\iff\qquad
y_{i} = \sum_{j}\mat{G}_{ij}s_{j}\,,\quad\forall\ i
\label{mgivecb}
\end{equation}
tal que $\mat{DG}\,\vec{s} = \vec{s}$ lo cual significa que
$\mat{G} = \mat{D}^{-1}$ y la solución es
única: $\vec{y} = \mat{D}^{-1}\,\vec{s}$. En este
sentido, $\mat{D}\vec{y} = \vec{s}$ e
$\vec{y} = \mat{D}^{-1}\,\vec{s}$ son equivalentes y se dice que
cualquiera de estas expresiones invierte
a la anterior.
La analogía es explotada
para
invertir
la ecuación diferencial. Siguiendo
tal analogía escribiríamos la solución en la
forma
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty}{\rm G}\pars{x,x'}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
\label{intGs0}
\end{equation}
la cual es análoga a la segunda expresión, con
índices continuos
, en \eqref{mgivecb}.
\eqref{intGs0} debe satisfacer la condición de frontera
${\rm y}\pars{a} = y_{a}$. Sin embargo, y puesto que la
ecuación diferencial admite la adición de una
constante, es conveniente escribir la solución en la forma
\begin{equation}
{\rm y}\pars{x} = y_{a} +
\int_{-\infty}^{\infty}{\rm G}\pars{x,x'}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
\label{solecudifypisx}
\end{equation}
porque en tal caso la integral \eqref{intGs0} satisface una
condición mas simple
( condición
homogenea ):
$$
\int_{-\infty}^{\infty}{\rm G}\pars{a,x'}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x' = 0
$$
la cual se puede satisfacer al imponer la condición
${\rm G}\pars{a,x'} = 0,\,\forall\ x' \in {\mathbb R}$. Así
mismo, \eqref{solecudifypisx} satisface la ecuación
diferencial si se cumple
$$
\int_{-\infty}^{\infty}\partiald{{\rm G}\pars{x,x'}}{x}\,
{\rm s}\pars{x'}\,\dd x' = {\rm s}\pars{x}
$$
la cual se satisface con la elección
$\ds{\partiald{{\rm G}\pars{x,x'}}{x} = \delta\pars{x - x'}}$.
Resumiendo: La
solución de la ecuación diferencial
$$
{\rm y}'\pars{x} = {\rm s}\pars{x}\,,\qquad\mbox{con}\quad
{\rm y}\pars{a} = y_{a}
$$
viene dada por \eqref{solecudifypisx}
\begin{equation}
{\rm y}\pars{x} = y_{a} +
\int_{-\infty}^{\infty}{\rm G}\pars{x,x'}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
\label{solGeneral0}
\end{equation}
donde
\begin{align}
\partiald{{\rm G}\pars{x,x'}}{x} & = \delta\pars{x - x'}
\label{ecGxxp0}
\\[2mm]
{\rm G}\pars{a,x'} & = 0\,,\qquad\forall\ x' \in {\mathbb R}
\label{cfecGxxp0}
\end{align}
Las solución de la Ec. \eqref{ecGxxp0} es independiente de
$x$ cuando $x \not= x'$. En principio, función de $x'$:
\begin{equation}
{\rm G}\pars{x,x'} =
\Theta\pars{x' - x}{\rm A}\pars{x'} +
\Theta\pars{x - x'}{\rm B}\pars{x'}
\label{GConThetas00}
\end{equation}
Reemplazando esta expresión en \eqref{ecGxxp0} se obtiene
$$
-\delta\pars{x' - x}{\rm A}\pars{x'} +
\delta\pars{x - x'}{\rm B}\pars{x'} = \delta\pars{x - x'}
$$
Integración de ambos miembros, sobre $x \in {\mathbb R}$,
conduce a $-{\rm A}\pars{x'} + {\rm B}\pars{x'} = 1$ tal que
\eqref{GConThetas00} se reduce a
\begin{equation}
{\rm G}\pars{x,x'} = {\rm A}\pars{x'} + \Theta\pars{x - x'}
\label{GconATheta}
\end{equation}
La condición de frontera
${\rm G}\pars{a,x'} = 0\,,\ \forall\ x'$
$\pars{~\mbox{ver}\ \eqref{cfecGxxp0}~}$ viene dada por
\begin{equation}
0 = {\rm G}\pars{a,x'} = {\rm A}\pars{x'} + \Theta\pars{a - x'}
\quad\imp\quad{\rm A}\pars{x'} = -\Theta\pars{a - x'}
\label{impCondFG}
\end{equation}
${\rm G}\pars{x,x'}$ viene dada por
$\pars{~\mbox{ver}\ \eqref{GconATheta}\ \mbox{y}\ \eqref{impCondFG}~}$
$$
{\rm G}\pars{x,x'} = -\Theta\pars{a - x'} + \Theta\pars{x - x'}
$$
Al reemplazar esta expresión en \eqref{solGeneral0} se obtiene
la solución de la ecuación diferencial en
cuestión. Es decir:
$$
{\rm y}\pars{x} = y_{a} - \int_{-\infty}^{a}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
+ \int_{-\infty}^{x}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
$$
$$
{\rm y}\pars{x} = y_{a} + \int_{a}^{x}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
$$
- $\ds{\partiald{{\rm y}\pars{x,\lambda}}{x} = \delta\pars{x} +
\lambda{\rm s}\pars{x}\,,\quad{\rm y}\pars{x,0} =
{\rm y_{0}}\pars{x}\,,\quad
\lim_{x \to \infty}{\rm y}\pars{x,\lambda} = 0\,,\
\forall\ \lambda \in {\mathbb R}}$.
Este ejemplo es mas cercano
a las funciones de Green usadas
en estas notas: $\lambda$ es similar a una constante
de acoplamiento y conocemos la solución
${\rm y_{0}}\pars{x}$ en ausencia del acoplamiento: Es
decir, cuando $\lambda = 0$.
$$
\mbox{Así mismo,}\quad
\partiald{{\rm y_{0}}\pars{x}}{x} = \delta\pars{x}
\quad\mbox{tal que}\quad
\partiald{\bracks{{\rm y}\pars{x,\lambda} - {\rm y_{0}}\pars{x}}}{x}
= \lambda{\rm s}\pars{x}
$$
La segunda expresión conduce a
$$
{\rm y}\pars{x,\lambda} - {\rm y_{0}}\pars{x}
= \lambda
\int_{-\infty}^{\infty}{\rm G}\pars{x,x'}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
\quad\mbox{con}\quad
\left\lbrace\begin{array}{rcl}
\partiald{{\rm G}\pars{x,x'}}{x} & = & \delta\pars{x - x'}
\\[2mm]
\lim_{x \to \infty}{\rm G}\pars{x,x'} & = & 0\,,\
\forall\ x' \in {\mathbb R}
\end{array}\right.
$$
${\rm G}\pars{x,x'}$ es de la forma
$$
{\rm G}\pars{x,x'} = \Theta\pars{x' - x}{\rm A}\pars{x'}
+ \Theta\pars{x - x'}{\rm B}\pars{x'}
$$
donde
$$
{\rm B}\pars{x'} - {\rm A}\pars{x'} = 1\quad\imp\quad
{\rm G}\pars{x,x'} = {\rm A}\pars{x'} + \Theta\pars{x - x'}
$$
Con $\lim_{x \to \infty}{\rm G}\pars{x,x'} = 0$ se obtiene
${\rm A}\pars{x'} = -1\,,\ \forall\ x'$ tal que
\begin{align*}
{\rm G}\pars{x,x'} & = -\Theta\pars{x' - x}
\\
{\rm y}\pars{x,\lambda} & = {\rm y_{0}}\pars{x} -
\lambda\int_{x}^{\infty}{\rm s}\pars{x'}\,\dd x'
\end{align*}
- $\ds{\ddot{\rm x}\pars{t} + \omega^{2}{\rm x}^{2}\pars{t} =
{{\rm F}\pars{t} \over m}\,;\qquad{\rm x}\pars{0} = x_{0}\,,
\quad\dot{\rm x}\pars{0} = v_{0}}$.
Este es el caso de un oscilador armónico clásico
unidimensional ( a lo largo del eje $x$ ). $m$ es la masa
de la partícula, $m\omega^{2}$ es la constante de Hooke
$\pars{~\omega > 0~}$ y ${\rm F}\pars{t}\,\hat{x}$ es una fuerza
externa, dependiente del tiempo $t$, aplicada sobre tal sistema.
En términos de la función de Green
${\rm G}\pars{t,t'}$, la solución viene dada por
\begin{equation}
{\rm x}\pars{t} =
x_{0}\cos\pars{\omega t} +
v_{0}\,{\sen\pars{\omega t} \over \omega} +
\int_{-\infty}^{\infty}{\rm G}\pars{t,t'}\,{{\rm F}\pars{t'} \over m}
\,\dd t'
\label{solintermsGOAS}
\end{equation}
Los dos primeros términos son una solución
( solución particular ) de la ecuación
homogenea
$\ddot{\rm x}\pars{t} + \omega^{2}{\rm x}^{2}\pars{t} = 0$ y dan
cuenta de las condiciones iniciales tal que la función de
Green satisface condiciones homogeneas:
\begin{align}
\pars{\partiald[2]{}{t} + \omega^{2}}{\rm G}\pars{t,t'} & =
\delta\pars{t - t'}
\label{ecfgOAS0}
\\[3mm]
{\rm G}\pars{0,t'} = 0\,,\quad
\left.\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t}\right\vert_{t\ =\ 0} & = 0
\label{ecfgOAS1}
\end{align}
Además, ${\rm G}\pars{t,t'}$ es continua en $t = t'$.
Introduzcamos
\begin{equation}
\xi\pars{t,t'} \equiv
\partiald{{\rm G}\pars{t,t'}}{t} + \ic\omega{\rm G}\pars{t,t'}
\quad\mbox{tal que}\quad
{\rm G}\pars{t,t'} = {1 \over \omega}\,\Im\pars{\xi\pars{t,t'}}
\label{introxiOAS}
\end{equation}
$\xi\pars{t,t'}$ satisface
$\pars{~\mbox{ver}\ \eqref{ecfgOAS0}\ \mbox{y}\ \eqref{ecfgOAS1}~}$
\begin{align}
\pars{\partiald{}{t} - \ic\omega}\xi\pars{t,t'} & =
\delta\pars{t - t'}
\\[3mm]
\xi\pars{0,t'} & = 0
\end{align}
$\xi\pars{t,t'}$ viene dada por
\begin{align}
\xi\pars{t,t'} & =
\Theta\pars{t' - t}{\rm A}\pars{t'}\expo{\ic\omega t} +
\Theta\pars{t - t'}{\rm B}\pars{t'}\expo{\ic\omega t}
\label{expxiOAS}
\\[3mm]
1 & = \xi\pars{t'^{+},t'} - \xi\pars{t'^{-},t'}
\nonumber
\end{align}
La segunda de estas expresiones conduce a
$$
1 = {\rm B}\pars{t'}\expo{\ic\omega t'} -
{\rm A}\pars{t'}\expo{\ic\omega t'}
\quad\imp\quad
{\rm B}\pars{t'} = \expo{-\ic\omega t'} + {\rm A}\pars{t'}
$$
La expresión \eqref{expxiOAS} se reduce a
\begin{equation}
\xi\pars{t,t'} =
{\rm A}\pars{t'}\expo{\ic\omega t} +
\Theta\pars{t - t'}\expo{\ic\omega\pars{t - t'}}
\label{xiparcialOAS}
\end{equation}
Así mismo,
\begin{equation}
0 = \xi\pars{0,t'} =
{\rm A}\pars{t'} + \Theta\pars{-t'}\expo{-\ic\omega t'}
\quad\imp\quad
{\rm A}\pars{t'} = -\Theta\pars{-t'}\expo{-\ic\omega t'}
\label{resolxiOAS}
\end{equation}
Ver \eqref{introxiOAS}, \eqref{xiparcialOAS} y \eqref{resolxiOAS}:
\begin{align}
\xi\pars{t,t'} & =
\bracks{-\Theta\pars{-t'} + \Theta\pars{t - t'}}
\expo{\ic\omega\pars{t - t'}}
\\[3mm]
{\rm G}\pars{t,t'} & =
\bracks{-\Theta\pars{-t'} + \Theta\pars{t - t'}}
{\sen\pars{\omega\bracks{t - t'}} \over \omega}
\end{align}
${\rm x}\pars{t}$ viene dada por $\pars{~\mbox{ver
expresión}\ \eqref{solintermsGOAS}~}$:
\begin{align*}
{\rm x}\pars{t} & =
x_{0}\cos\pars{\omega t} +
v_{0}\,{\sen\pars{\omega t} \over \omega}
\\[3mm] & -
\int_{-\infty}^{0}{\sen\pars{\omega\bracks{t - t'}} \over \omega}\,
{{\rm F}\pars{t'} \over m}\,\dd t' +
\int_{-\infty}^{t}{\sen\pars{\omega\bracks{t - t'}} \over \omega}\,
{{\rm F}\pars{t'} \over m}\,\dd t'
\end{align*}
$$
{\rm x}\pars{t} =
x_{0}\cos\pars{\omega t} + v_{0}\,{\sen\pars{\omega t} \over \omega}
+ {1 \over m\omega}\int_{0}^{t}\sen\pars{\omega\bracks{t - t'}}
{\rm F}\pars{t'}\,\dd t'
$$
Programas en C++
El programa siguiente, en
C++, genera la
data
de las figuras
${\cal P}_{\rm s}\pars{t}\ \mbox{vs.}\ \omega_{\vec{p}}$
y
${\cal P}_{\rm m^{*}}\pars{t}\ \mbox{vs.}\ \omega_{\vec{p}}$
en la sección
Ecuaciones de
Kadanoff-Baym. Ejemplo: Bosones.
// ps_pm_0.cc F. P. Marin fpmaring@gmail.com 09-mar-2016
// Compilacion: g++ ps_pm_0.cc -o ps_pm_0.out -lm -Wall -W
// Ejecucion: ./ps_pm_0.out
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iostream>
#include <stdexcept>
using namespace std;
const char *ARCH[] = {"ps.dat","pm.dat"};
const double DW = 0.01,E = 1.0;
const double MAXW = 2.0 + DW,MINW = 0;
const double PAR[] = {0.1,0.2,0.3,1.0};
const size_t NPAR = sizeof(PAR)/sizeof(*PAR);
double Pt(double w,double e,double g);
inline int errorArchivo(const char *arch)
{
cerr<<"\nError al abrir archivo "<<arch<<endl;
return 0;
}
inline double Gamma_s(double w,double as) { return as*w*w; }
inline double Gamma_m(double w,double am)
{
if (w > 0) return am*sqrt(w);
else if (w < 0) throw range_error("Argumento w no puede ser negativo");
else return 0;
}
int main()
{
ofstream ps(ARCH[0]);
if (!ps.is_open()) return errorArchivo(ARCH[0]);
ofstream pm(ARCH[1]);
if (!pm.is_open()) {
ps.close();
return errorArchivo(ARCH[1]);
}
double w = MINW;
do {
ps<<w;
pm<<w;
for ( size_t i = 0 ; i < NPAR ; ++i ) {
try {
ps<<' '<<Pt(w,E,Gamma_s(w,PAR[i]));
pm<<' '<<Pt(w,E,Gamma_m(w,PAR[i]));
} catch(const range_error &re) {
pm.close(),ps.close();
cerr<<endl<<re.what()<<endl;
return 0;
} catch(...) {
pm.close(),ps.close();
cerr<<"\nErrorDesconocido\n";
return 0;
}
}
ps<<endl;
pm<<endl;
} while ((w += DW) < MAXW);
pm.close();
ps.close();
return 0;
}
double lor(double w,double g) // Lorentziana
{
if ((w = abs(w)) < abs(g)) {
w /= g;
w = (1.0/g)/(w*w + 1.0);
} else if (w > 0) {
g /= w;
w = (g/w)/(1.0 + g*g);
} else throw range_error("Division por cero");
return w/M_PI;
}
double Pt(double w,double e,double g)
{
static double res;
try { res = lor(w - e,g); } catch(range_error) { throw; }
return res;
}
El programa siguiente, en
C++, genera la
data
de la
figura al final de la sección
Ecuaciones de
Kadanoff-Baym. Ejemplo: Bosones.
// sBose_0.cc F. P. Marin fpmaring@gmail.com 14-mar-2016
// Compilacion: g++ sBose_0.cc -o sBose_0.out -lm -Wall -W
// Ejecucion: ./sBose_0.out
/* Cuadratura Gauss-Laguerre: http://dlmf.nist.gov/3.5.T9 */
#include <cfloat>
#include <cmath>
#include <complex>
#include <fstream>
#include <iostream>
#include <stdexcept>
using namespace std;
typedef complex<double> Complejo;
const char *ARCHIVO = "sBose_0.dat";
const Complejo I(0,1.0);
const double DE = 0.00001,T = 1.0;
const double MAXE = 10.0 + DE,MINE = 0,T3 = T*T*T;
const double XK[] = {0.1377934705404049231,0.729454549503170498,
1.80834290174031605,3.40143369785489951,
5.55249614006380363,8.33015274676449670,
11.8437858379000656,16.2792578313781021,
21.9965858119807620,29.9206970122738916};
const double WK[] = {0.308441115765020141,0.401119929155273552,
0.218068287611809422,0.0620874560986777475,
0.950151697518110055E-2,0.753008388587538775E-3,
0.282592334959956557E-4,0.424931398496268637E-6,
0.183956482397963078E-8,0.991182721960900856E-12};
const size_t NPUNTOS = sizeof(XK)/sizeof(*XK);
double f(double e);
Complejo f(double e,double x,double alphaS = 0.1);
int main()
{
if (NPUNTOS != (sizeof(WK)/sizeof(*WK))) {
cerr<<<"\nError en Cuadratura Gauss-Laguerre\n";
return 0;
}
ofstream sB(ARCHIVO);
if (!sB.is_open()) {
cerr<<"\nError al abrir archivo "<<ARCHIVO<<endl;
return 0;
}
for ( double e = MINE ; e < MAXE ; e += DE ) {
try { sB<<e<<' '<<f(e)<<endl; }
catch(const range_error &re) {
sB.close();
cerr<<endl<<re.what()<<endl;
return 0;
}
catch(...) {
sB.close();
cerr<<"\nError desconocido\n";
return 0;
}
}
sB.close();
return 0;
}
double bose(double x)
{
static const double minX0 = 0.95*log(DBL_EPSILON);
static const double minX1 = minX0/3.0;
if (x > 0) return -1.0 - bose(-x);
if (x < minX0) return -1.0;
if (x < minX1) {
x = exp(x);
return -1.0 - x*(1.0 - x);
}
if (x < 0) return 1.0/(exp(x) - 1.0);
throw range_error("Distribucion de Bose no esta definida en x = 0");
}
double f(double e)
{
static Complejo res;
static size_t i;
res = 0;
for ( i = 0 ; i < NPUNTOS ; ++i ) {
try { res += WK[i]*f(e,XK[i]); } catch(range_error) { throw; }
}
res *= T3;
return res.real();
}
Complejo f(double e,double x,double alphaS)
{
static const double alphaSPorT = alphaS*T;
static Complejo den;
static double temp;
try { temp = 1.0 + bose(x); } catch(range_error) { throw; }
den = T*(alphaSPorT*x - I)*x + e*I;
return x*x*temp/den;
}
// gotaC_0.cc F. P. Marin fpmaring@gmail.com 17-mar-2016
// Compilacion: g++ gotaC_0.cc -o gotaC_0.out -lm -Wall -W
// Ejecucion: ./gotaC_0.out > gotaC_0.dat
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <stdexcept>
using namespace std;
class GotaC
{
private:
double delta,gamma,n0,omega;
static double lor(double w,double g); // Lorentziana
public:
GotaC(double d = 1.0,double g = 0.1,double nt0 = 0,
double w = 1.0);
double operator ()(double t) const;
};
double GotaC::lor(double w,double g)
{
if ((w = abs(w)) < abs(g)) {
w /= g;
w = (1.0/g)/(w*w + 1.0);
} else if (w > 0) {
g /= w;
w = (g/w)/(1.0 + g*g);
} else throw range_error("Division por cero");
return w/M_PI;
}
inline GotaC::GotaC(double d,double g,double nt0,double w)
{
(delta = d),(gamma = g),(n0 = nt0),(omega = w);
}
double GotaC::operator ()(double t) const
{
static double exp_gt,temp;
try { temp = lor(omega,gamma); } catch(range_error) { throw; }
exp_gt = exp(-gamma*t);
return n0*exp_gt*exp_gt +
delta*temp*((exp_gt - 2.0*cos(omega*t))*exp_gt + 1.0);
}
int main()
{
const double dt = 0.1,maxT = 40.1;
GotaC n;
for ( double t = 0 ; t < maxT ; t += dt ) {
try { cout<<t<<' '<<n(t)<<endl; }
catch(const range_error &re) {
cerr<<endl<<re.what()<<endl;
return 0;
}
catch(...) {
cerr<<"\nError desconocido\n";
return 0;
}
}
return 0;
}