La Solución ${\rm G}\pars{t,t'}$
La
ecuación de movimiento para
${\rm G}\pars{t,t'}$ puede ser expresada como una ecuación
integral, que acopla ${\rm G}$ con ${\rm F}_{\eta\vec{k}}$, de acuerdo
a:
\begin{align}
{\rm G}\pars{t,t'}
& =
{\rm g}\pars{t,t'}
+
\oint_{\ck}\dd t''\,{\rm g}\pars{t,t''}
\sum_{\eta\vec{k}}V_{\eta\vec{k}}\,{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t'',t'}
\nonumber\\
& =
{\rm g}\pars{t,t'}
+
\oint_{\ck}\dd t''\,{\rm g}\pars{t,t''}
\sum_{\eta\vec{k}}V_{\eta\vec{k}}\
\ub{\oint_{\ck}\dd t'''\,{\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t'',t'''}
V_{\eta\vec{k}}^{*}{\rm G}\pars{t''',t'}}
{\ds{{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t'',t'}}}
\label{GFuncOfF}
\end{align}
y $\LARGE\mbox{(}$
ver
expresión previa para
${\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}$ $\LARGE\mbox{)}$
$$
{\rm g}\pars{t,t'}
=
-\ic\angles{\tk\,b\pars{t}b^{\dagger}\pars{t'}}_{0}
$$
Note que ${\rm g}\pars{t,t'}$ satisface la ecuación de
movimiento
$$
\pars{\ic\,{\partial \over \partial t} - \xi}{\rm g}\pars{t,t'}
=
\delta\pars{t,t'}
$$
Ec. \eqref{GFuncOfF} muestra que ${\rm G}\pars{t,t'}$ satisface la
Ecuación de Dyson
\begin{align}
{\rm G}\pars{t,t'}
&
=
{\rm g}\pars{t,t'}
+
\oint_{\ck}\oint_{\ck}\dd t''\,\dd t'''\,
{\rm g}\pars{t,t''}\Sigma\pars{t'',t'''}{\rm G}\pars{t''',t'}
\label{GAsFuncG}
\\
&\mbox{donde}\quad
\Sigma\pars{t,t'}
\equiv
\sum_{\eta}\Sigma_{\eta}\pars{t,t'}
=
\sum_{\eta\vec{k}}
\verts{V_{\eta\vec{k}}}^{2}{\rm g}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
\label{defSigmaConGEtaK78190}
\end{align}
Usemos reiteradamente las
reglas de Langreth con el fin de obtener
una ecuación integral para ${\rm G}^{<}\pars{t,t'}$ a partir de la
ecuación integral \eqref{GAsFuncG}. Puesto que
${\rm G}^{<}\pars{t,t'}$ se acopla a ${\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t,t'}$,
es necesario a su vez, usar las reglas de Langreth para obtener una
ecuación integral para ${\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t,t'}$:
\begin{align}
{\rm G}^{<}\pars{t,t'}
&=
{\rm g}^{<}\pars{t - t'}
+ \int_{t_{0}}^{\infty}\dd t''\int_{t_{0}}^{\infty}\dd t'''\nonumber
\\[3mm]&
\left\lbrace
{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{t - t''}\bracks{%
\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{t'' - t'''}{\rm G}^{<}\pars{t''',t'}
+
\Sigma^{<}\pars{t'' - t'''}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t''' - t'}\vphantom{{\LARGE A}}}\right.
\nonumber
\\&
\left.\mbox{} +
{\rm g}^{<}\pars{t - t''}\,\bracks{\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{t'' - t'''}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t''',t'}\vphantom{{\LARGE A}}}
\vphantom{{\huge A}}\right\rbrace
\label{GMenost0}
\\[5mm]
{\rm G^{\pars{a}}}\pars{t,t'}
&=
{\rm g^{\pars{a}}}\pars{t - t'}\nonumber
\\[3mm]&+
\int_{t_{0}}^{\infty}\dd t''\,\int_{t_{0}}^{\infty}\dd t'''\,
{\rm g^{\pars{a}}}\pars{t - t''}
\Sigma^{\pars{a}}\pars{t'' - t'''}
{\rm G^{\pars{a}}}\pars{t''',t'}
\label{Gat0}
\end{align}
Note que:
\begin{equation}
\hspace{-2cm}\left\lbrace\begin{array}{rclrcl}
{\rm g}^{<}\pars{t} & = & \ic\angles{b\+b\pars{t}}_{0} =
\ic\angles{b\+b}_{0}\expo{-\ic\xi t}\,,&
\pars{\ic\,\partiald{}{t} - \xi}{\rm g}^{<}\pars{t} & = & 0
\\[1mm]
{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{t} & = & \ic\Theta\pars{-t}
\angles{\braces{b\pars{t},b\+}}_{0} =
\ic\Theta\pars{-t}\expo{-\ic\xi t}\,,&
\pars{\ic\,\partiald{}{t} - \xi}{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{t}
& = & \delta\pars{t}
\\[1mm]
{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{t} & = & -\ic\Theta\pars{t}
\angles{\braces{b\pars{t},b\+}}_{0} =
-\ic\Theta\pars{t}\expo{-\ic\xi t}\,,&
\pars{\ic\,\partiald{}{t} - \xi}{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{t}
& = & \delta\pars{t}
\end{array}\right.
\label{freegf9876}
\end{equation}
- Note que
${\rm g}^{\Lambda}\pars{t,t'}\ $ y $\ \Sigma^{\Lambda}\pars{t,t'}$
dependen de $t$ y $t'$ solo a través de $t - t'$.
$\Lambda\ =\ >, <, {\rm\pars{r}}, {\rm\pars{a}}$.
- En consecuencia, sus
transformadas de Fourier son de la forma
${\rm g}^{\Lambda}\pars{\omega,\omega'}
\equiv
2\pi\,\delta\pars{\omega - \omega'}{\rm g}^{\Lambda}\pars{\omega}$
y $\Sigma^{\Lambda}\pars{\omega,\omega'}
\equiv
2\pi\,\delta\pars{\omega - \omega'}\Sigma^{\Lambda}\pars{\omega}$.