El Límite $t_{0} \to -\infty$
En esta situación, transformadas de Fourier en ambos
miembros de las ecuaciones integrales para ${\rm G}^{<}\pars{t,t'}$ y
${\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{t,t'}$ se pueden obtener en una forma
simple ( ver página
anterior y Apéndice A ):
\begin{align}
{\rm G}^{<}\pars{\omega,\omega'}
& =
{\rm g}^{<}\pars{\omega,\omega'}\nonumber
\\[3mm]&\mbox{}+
{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}{\rm G}^{<}\pars{\omega,\omega'}
+
{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\Sigma^{<}\pars{\omega}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}
\nonumber
\\[3mm]&\mbox{}+
{\rm g}^{<}\pars{\omega}\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}
\label{Gmcomp}
\\[5mm]
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}
& =
{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}
+
{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}
\label{Gacomp}
\end{align}
con $\LARGE\mbox{(}$ ver expresiones previas para
$\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}$ y
$\angles{n\pars{t}}$ $\LARGE\mbox{)}$
\begin{align}
\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}
& =
{2e \over h}\,\Re\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega
\int_{-\infty}^{\infty}{\dd\omega' \over 2\pi}\nonumber
\\[3mm]&
\expo{-\ic\pars{\omega - \omega'}t}
\bracks{%
\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}{\rm G}^{<}\pars{\omega,\omega'}
+
\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}}
\label{Iwmenosw}
\\[3mm]&
\mbox{donde hemos usado}\quad 2\pi\hbar = h
\nonumber
\\&
\nonumber
\\[5mm]
\angles{n\pars{t}}
& =
\int_{-\infty}^{\infty}{\dd\omega \over 2\pi\ic}\,
\int_{-\infty}^{\infty}{\dd\omega' \over 2\pi}
\expo{-\ic\pars{\omega - \omega'}t}\
{\rm G}^{<}\pars{\omega,\omega'}
\label{nwmenosw}
\end{align}
De la estructura de las ecuaciones \eqref{Gmcomp} y \eqref{Gacomp},
para ${\rm G}^{<}\pars{\omega,\omega'}$ y
${\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}$ se
infiere, puesto
que ${\rm g}^{<}\pars{\omega,\omega'}$
y ${\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}$ son
$\propto \delta\pars{\omega - \omega'}$, que
${\rm G}^{<}\pars{\omega,\omega'}$ y
${\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}$ son de la forma
$$
{\rm G}^{<}\pars{\omega,\omega'}
\equiv
2\pi\,\delta\pars{\omega - \omega'}{\rm G}^{<}\pars{\omega} \,,
\qquad\qquad
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega,\omega'}
\equiv
2\pi\,\delta\pars{\omega - \omega'}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
$$
tal que
\begin{align}
{\rm G}^{<}\pars{\omega}
& =
{\rm g}^{<}\pars{\omega}
\nonumber\\[3mm]&\mbox{}+
{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}{\rm G}^{<}\pars{\omega}
+
{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\Sigma^{<}\pars{\omega}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
\nonumber\\[3mm]&\mbox{}+
{\rm g}^{<}\pars{\omega}\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
\label{GMenosW}
\\[5mm]
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
& =
{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
+
{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
\label{GAW}
\end{align}
Ello
$\pars{~\mbox{el límite}\ t_{0} \to -\infty,
\mbox{y en consecuencia, la proporcionalidad a}\
\delta\pars{\omega - \omega'}~}$ conduce a
soluciones
estacionarias (
independientes del tiempo ) para
el flujo medio de carga $\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}$ y el
número medio $\angles{n\pars{t}}$ de partículas en la
gota cuántica $GC$:
$$
I_{\eta} \equiv \angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}\,,
\qquad\qquad
\angles{n} \equiv \angles{n\pars{t}}
$$
En consecuencia, y con Ecs. \eqref{Iwmenosw}
y \eqref{nwmenosw},
\begin{align}
I_{\eta}
&=
{2e \over h}\,\Re\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega
\bracks{%
\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}{\rm G}^{<}\pars{\omega}
+
\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}}
\label{Ietaw}
\\[3mm]
\angles{n}
&=
\int_{-\infty}^{\infty}{\dd\omega \over 2\pi\ic}\,
{\rm G}^{<}\pars{\omega}
\label{nw}
\end{align}
- Puesto que la condición inicial se establece cuando
$t_{0} \to -\infty$; el intervalo de tiempo transcurrido
$\verts{t - t_{0}}$, hasta un instante de tiempo finito $t$, tiende
a $+\infty$ tal que el sistema alcanza un estado estacionario.
- Note que no es necesario, en general, que un sistema alcance un
estado estacionario y, por lo tanto, ello es una particularidad del
sistema en estudio y es predicho rigurosamente por el
Formalismo de Keldysh.
- Algunos artículos, en la literatura usual, afirman
erróneamente que el estado estacionario, en el
Formalismo de Keldysh se obtiene de
manera
artificial
.
Multiplicando ambos miembros de la Ec. \eqref{GAW},
para ${\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}$, por el factor
$\bracks{{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}}^{-1}
{\rm g}^{<}\pars{\omega}$ se obtiene el
resultado
${\rm g}^{<}\pars{\omega}
+
{\rm g}^{<}\pars{\omega}\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega} = 0\phantom{=}$ tal que solo
sobreviven el segundo y el tercer término en la
Ec. (\ref{GMenosW}) para ${\rm G}^{<}\pars{\omega}$:
\begin{eqnarray}
{\rm G}^{<}\pars{\omega}
& = &
{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}{\rm G}^{<}\pars{\omega}
+
{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\Sigma^{<}\pars{\omega}{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
\\&&\nonumber
\\
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
& = &
{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
+
{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
\end{eqnarray}
Las soluciones de este par de ecuaciones vienen dadas por
Note que
\begin{align*}
{\rm g}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
& =
\bracks{{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}^{*}
\\
\Sigma^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}
& =
\bracks{\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}^{*}
\end{align*}
\begin{eqnarray}
{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
& = &
\bracks{{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}}^{*}
=
{{\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\over
1- {\rm g}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}
\\[3mm]
{\rm G}^{<}\pars{\omega}
& = &
\Sigma^{<}\pars{\omega}\verts{{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}^{2}
=
\Sigma^{<}\pars{\omega}\,
{-\Im{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\over
\Im\braces{\bracks{{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}^{-1}}}
\nonumber\\
& = &
-\Im{\rm G^{\pars{r}}}\pars{\omega}\,
{\Sigma^{<}\pars{\omega} \over -\Im\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}
\end{eqnarray}
tal que
\begin{align}
{\rm G}^{<}\pars{\omega}
& =
\pi\rho\pars{\omega}\,
{\Sigma^{<}\pars{\omega} \over \Gamma\pars{\omega}}
\\
\rho\pars{\omega}
& \equiv
-\,{1 \over \pi}\,\Im{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
\label{rhoomega}
\end{align}
$\rho\pars{\omega}$ es la densidad espectral asociada a la
gota cuántica $GC$
\begin{align}
&\nonumber
\\[3mm]
\Gamma\pars{\omega}
& \equiv
-\Im\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
=
\sum_{\eta}\bracks{-\Im\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}
=
\sum_{\eta}\Gamma_{\eta}\pars{\omega + eV_{\eta}}
\\[3mm]
\Gamma_{\eta}\pars{\omega}
& \equiv
-\Im\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
=
\pi\sum_{\vec{k}}
\verts{V_{\eta\vec{k}}}^{2}\delta\pars{\omega - \epsilon_{\eta\vec{k}}}
\\[3mm]
{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
& =
{1 \over \omega - \xi - \Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}
\end{align}
$\Re\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega} = 0$
y, en consecuencia,
$\Re\Sigma^{<}\pars{\omega} = 0$. Así mismo
$\Re{\rm G}^{<}\pars{\omega} = 0$.
En el desarrollo anterior hemos expresado las funciones
${\rm G}^{<}\pars{\omega}$ y ${\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}$ en
términos de cantidades que son evaluadas en el instante inicial
$t_{0} \to -\infty$ cuando $V_{\eta\vec{k}} = 0$, $\forall\
\eta,\vec{k}$. Ello permite obtener expresiones para la
evaluación de la corriente eléctrica y de la
población electrónica en la gota cuántica $GC$. A
partir de la expresión \eqref{Ietaw}, y con las propiedades
enumeradas arriba, se obtiene:
\begin{eqnarray}
I_{\eta}
& = &
{2e \over h}\,\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,
\bracks{%
-\Im\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}\Im{\rm G}^{<}\pars{\omega}
-
\Im\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega}\
\overbrace{\ \Im{\rm G}^{\rm\pars{a}}\pars{\omega}\ }
^{-\Im{\rm G}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}}
\nonumber\\
& = &
{2e \over h}\,\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,
\braces{%
\Gamma_{\eta}\pars{\omega + eV_{\eta}}
\bracks{\pi\rho\pars{\omega}\,{\Im\Sigma^{<}\pars{\omega}
\over
\Gamma\pars{\omega}}}
-
\Im\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega}\bracks{\pi\rho\pars{\omega}}}
\nonumber\\
& = &
{2\pi e \over h}\,\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,
\rho\pars{\omega}
\bracks{%
{\Gamma_{\eta}\pars{\omega + eV_{\eta}} \over \Gamma\pars{\omega}}\,
\Im\Sigma^{<}\pars{\omega}
-
{\Gamma\pars{\omega} \over \Gamma\pars{\omega}}\,
\Im\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega}}\label{ietarp}
\end{eqnarray}
Así mismo
\begin{eqnarray}
n_{\sss{\rm GC}}
& = &
\int_{-\infty}^{\infty}{\dd\omega \over 2\pi}\,
\Im{\rm G}^{<}\pars{\omega}
=
\int_{-\infty}^{\infty}{\dd\omega \over 2\pi}\,
\pi\rho\pars{\omega}\,
{\Im\Sigma^{<}\pars{\omega} \over \Gamma\pars{\omega}}
\nonumber\\[3mm]&=&
\half\,\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,\rho\pars{\omega}
\sum_{\eta}
{\Im\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega} \over \Gamma\pars{\omega}}
\end{eqnarray}
Estos resultados expresan $I_{\eta}$ y $n_{\sss{\rm GC}}$ en
términos de cantidades que son evaluadas en el instante inicial
y con la condición $V_{\eta\vec{k}} = 0, \forall \eta, \vec{k}$.
La
expresión simétrica para el flujo de carga
$I_{\eta}$ viene dada por \eqref{ietarp}:
\begin{align}
I_{\eta}
& =
{2\pi e \over h}\,\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,\rho\pars{\omega}
\times
\nonumber\\[3mm]&\sum_{\eta'}\bracks{%
{\Gamma_{\eta}\pars{\omega + eV_{\eta}}
\over
\Gamma\pars{\omega}}\,\Im\Sigma_{\eta'}^{<}\pars{\omega}
-
{\Gamma_{\eta'}\pars{\omega + eV_{\eta'}}
\over
\Gamma\pars{\omega}}\,\Im\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega}}
\label{Ietafinal}
\\
&
\mbox{Note que}\quad \sum_{\eta}I_{\eta} = 0
\nonumber
\\[5mm]
\angles{n}
& =
\half\,\int_{-\infty}^{\infty}\dd\omega\,\rho\pars{\omega}
\sum_{\eta}
{\Im\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega} \over \Gamma\pars{\omega}}
\label{nfinal}
\\[5mm]&\mbox{}\nonumber
\end{align}
\begin{align}
\mbox{Note que} &\nonumber
\\
-\Im\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
& =
\phantom{2}\pi\sum_{\vec{k}}\verts{V_{\eta\vec{k}}}^{2}
\delta\pars{\omega - \xi_{\eta\vec{k}}}
= \pi\sum_{\vec{k}}\verts{V_{\eta\vec{k}}}^{2}
\delta\pars{\omega - \epsilon_{\eta\vec{k}} + eV_{\eta}}
\\[5mm]
\Im\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega}
& =
2\pi\sum_{\vec{k}}\verts{V_{\eta\vec{k}}}^{2}
\delta\pars{\omega - \xi_{\eta\vec{k}}}
\angles{n_{\eta\vec{k}}}_{0}\nonumber
\\[3mm]&=2\pi\sum_{\vec{k}}\verts{V_{\eta\vec{k}}}^{2}
\delta\pars{\omega - \epsilon_{\eta\vec{k}} + eV_{\eta}}
\angles{n_{\eta\vec{k}}}_{0}\label{sigmaMenosFinal}
\\[5mm]
\rho\pars{\omega}
& =
{\Gamma\pars{\omega}/\pi \over
\bracks{\omega - \xi - \Re\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}^{2} +
\Gamma^{2}\pars{\omega}}
\label{rhoomegafinal}
\\[5mm]&
\mbox{y}\quad
\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}
=
\sum_{\eta}\Sigma_{\eta}^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}\,,
\quad
\Sigma^{<}\pars{\omega}
=
\sum_{\eta}\Sigma_{\eta}^{<}\pars{\omega}
\end{align}
Es interesante observar lo siguiente:
- Si en el pasado remoto todos los reservorios están
vacios ( cuando
$V_{\eta\vec{k}} = 0\,\ \forall\ \eta,\vec{k}$ ), se cumple
$\angles{n} = 0$. Es decir, en el límite estacionario los
electrones en la gota cuántica decaen hacia los
reservorios.
- Si todos los estados de los reservorios están ocupados
( cuando
$V_{\eta\vec{k}} = 0\,\ \forall\ \eta,\vec{k}$ ),
$\angles{n}$ recibe una contribución de cada
reservorio pesada esencialmente con la densidad espectral.
Es interesante señalar que en el estado estacionario,
la corriente eléctrica y la ocupación de la gota
cuántica $GC$ son determinadas por la ocupación inicial
de los reservorios cuando se ignoran los contactos entre los
reservorios y la gota cuántica $GC$. Ver \eqref{sigmaMenosFinal}.
La
Densidad Espectral asociada a la gota cuántica $GC$
viene dada por la definición \eqref{rhoomega}
$$
\rho\pars{\omega}
=
-\,{1 \over \pi}\,\Im{\rm G^{\pars{r}}}\pars{\omega}\,,
\qquad\qquad
{\rm G^{\pars{r}}}\pars{\omega}
=
{1 \over \omega - \xi - \Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}
=
{1 \over \omega - \pars{\epsilon - eV_{G}}
- \Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}
$$
Observe que
- Cuando $V_{\eta\vec{k}} = 0, \forall\ \eta, \vec{k}$ se
obtiene $\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega} = -\ic 0^{+}$ y
$$
\rho\pars{\omega}
=
\delta\pars{\omega - \xi}
=
\delta\pars{\omega + eV_{G} - \epsilon}
$$
lo cual significa que el potencial compuerta $V_{G}$
ajusta
la energía $\omega$ suministrada a $GC$
para producir una excitación de energía $\epsilon$
( para colocar un electrón en $GC$ ). La
situación es similar a la excitación de un
átomo debido a la absorción de un fotón
de energía $h\nu \equiv \omega + eV_{G}$. Alternativamente,
se puede decir que el potencial compuerta $V_{G}$ cambia la
energía de excitación
$\pars{~\epsilon \to \epsilon - eV_{G}~}$ tal que la
excitación ocurre cuando $\omega = \epsilon - eV_{G}$.
- En general, los polos de ${\rm G^{\pars{r}}}\pars{\omega}$
determinan las
contribuciones
mas importantes a
$\rho\pars{\omega}$. Tales polos son determinados por
$$
\omega - \xi - \Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega} = 0
$$
la cual, en general, tiene soluciones en el plano complejo.
$\rho\pars{\omega}$ se reduce a
$$
\rho\pars{\omega}
=
{\Gamma\pars{\omega}/\pi
\over
\bracks{\omega - \pars{\epsilon - eV_{G}}
-
\Re\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega}}^{\phantom{A}2}
+
\Gamma^{\, 2}\pars{\omega}}
$$
Supongamos, por simplicidad y a manera de ejemplo,
que $\Re\Sigma^{\rm\pars{r}}\pars{\omega} = 0\phantom{=}$
y $\Gamma\pars{\omega}$ es
independiente de $\omega$ $\pars{~\Gamma\pars{\omega} = \Gamma~}$
tal que ${\rm G^{\pars{r}}}\pars{\omega}$ tiene un polo en
$\pars{\epsilon - eV_{G}} - \ic\Gamma$:
$$
\rho\pars{\omega}
=
{\Gamma/\pi
\over
\bracks{\omega - \pars{\epsilon - eV_{G}}}^{\phantom{a}2}
+ \Gamma^{\, 2}}
$$
La contribución mas importante a $\rho\pars{\omega}$
proviene de la región definida por
$$
\pars{\epsilon - eV_{G}} - \Gamma\
\lesssim\ \omega\ \lesssim\
\pars{\epsilon - eV_{G}} + \Gamma
$$
La interacción con los reservorios introduce un margen
de ancho $\approx \Gamma$ a la resonancia
$\omega = \epsilon - eV_{G}$ de manera similar a un gas de fotones
interactuando con niveles atómicos. Así mismo,
${\rm G^{\pars{r}}}\pars{t,t'}$ decae exponecialmente como
$\exp\pars{-\bracks{t - t'}\,/\,\Gamma}$. $\Gamma^{\,-1}$
$\pars{~\mbox{con}\ \hbar = 1~}$ es la escala de tiempo ( de
permanencia ) de un electrón en la gota
cuántica $GC$.
A continuación estudiamos aplicaciones de los resultados
obtenidos en esta sección a algunas situaciones relevantes.