Consideremos la convolución, sobre el contorno de Keldysh, de dos
funciones de Green-Keldysh tal y como se ha definido previamente en
la sección anterior:
$$
{\rm C}\pars{t,t'}
=
\oint_{\ck}\dd t''\,{\rm A}\pars{t,t''}{\rm B}\pars{t'',t'}
$$
El propósito de esta sección es evaluar
${\rm C}^{> \atop {< \atop {\rm{\pars{r} \atop \pars{a}}}}}$
en términos de
${\rm A}^{> \atop {< \atop {\rm{\pars{r} \atop \pars{a}}}}}$ y
${\rm B}^{> \atop {< \atop {\rm{\pars{r} \atop \pars{a}}}}}$. El
conjunto de esas evaluaciones se denomina Reglas de Langreth.
Las evaluaciones se realizan para un sistema físico dado cuyo
estado inicial, en el instante $t_{0}$, es conocido. Como se explica en
la sección anterior, $t > t_{0}$ y $t' > t_{0}$.
El resultado para ${\rm C}^{> \atop <}\pars{t,t'}$ es independiente de
los subcontornos a los cuales pertenecen $t$ y $t'$. Supongamos que
$t, t' \in {\rm C_{K-}}\,,\quad$ $t \geq_{\rm K} t'$:
El cálculo de la longitud $L$ de la circunferencia de un
círculo de radio uno es bastante simple:
$\ds{L = \int_{0}^{2\pi}\dd\theta = 2\pi}$
Imagine que los puntos
y
son
posiciones instantáneas de un punto que se mueve a lo largo
de la circunferencia, y en el sentido que indican las flechas, cuya
posición instantánea viene dada por $\theta$.
$\theta \in \bracks{0,2\pi}$. $\theta = 0$ es el punto de
partida y $\theta = \pi$ es el punto de retorno. Tal
punto decimos que se dirige al punto de retorno cuando
$0 < \theta < \pi$ ( tal como el punto
) y
regresa al punto de partida
( tal como el punto
) cuando $\pi < \theta < 2\pi$.
La relación de orden, sobre el contorno, es la usual
$\leq$ la cual viene dada por la definición
$\ds{\theta_{0} \leq \theta_{1} \iff \theta_{0} - \theta_{1}}$ es
negativo o cero.
Sin embargo, el cálculo anterior puede ser reformulado de
la siguiente manera:
Imagine que los puntos
y
son
posiciones instantáneas de un punto que se mueve a lo largo
de la circunferencia, en el sentido que indican las flechas, cuya
posición instantánea viene dada por $\theta$.
$\theta \in \bracks{0,\pi}$. $\theta = \pi$ es el punto de
partida y $\theta = 0$ es el punto de retorno. Tal punto
decimos que se dirige hacía el punto de retorno
( tal como el punto
) cuando se encuentra en el subcontorno $\ck_{-}$
o con la notación mencionada arriba: $\theta <_{\rm K} 0$.
Decimos que se dirige al punto de partida
( tal como el punto
)
cuando se encuentra en el subcontorno $\ck_{+}$ o con la
notación mencionada arriba: $\theta >_{\rm K} 0$.
Note que ambos puntos
( y
)
tienen el mismo valor numérico $3\pi/4$ pero el valor
asignado al punto
es
menor ( sobre el contorno de Keldysh ) que el valor
asignado al punto
$\,$:
$$
\color{#00f}{3\pi \over 4} < \color{pink}{3\pi \over 4}\,,\qquad
\pars{~\mbox{sobre el contorno de Keldysh}\ \ck~}
$$
O/y con la notación desarrollada arriba:
$$
\pars{3\pi \over 4}_{-} <_{\rm K} \pars{3\pi \over 4}_{+}
$$
Otro ejemplo simple es el de un objeto que se mueve ida y vuelta
en una dimensión como ilustra la figura siguiente:
La figura ilustra el movimiento ( ida y vuelta ) de un
objeto, bajo la acción de la fuerza de roce y otras fuerzas
no mostradas en las figuras, desde $x = 0$ hasta $x = L$. Las
flechas indican el sentido y la dirección de la
fuerza de roce de magnitud $F$.
El trabajo ${\cal T}_{\rm roce}$ realizado por la fuerza de roce
se calcula como
$$
{\cal T}_{\rm roce} \equiv
\int_{0}^{L}\pars{-F}\,\dd x + \int_{L}^{0}\pars{+F}\,\dd x
= -2FL
$$
Interpretemos la integración, mostrada arriba, como una
integración a lo largo de un contorno de Keldysh
$\ck = \ck_{-} \cup \ck_{+}$ como el que se muestra a
continuación:
La función de Green-Keldysh
${\cal F}_{\rm roce}:\ck \to {\mathbb C}$ se define a través
de
$$
{\cal F}_{\rm roce}\pars{x,x'} \equiv
\Theta\pars{x,x'}F - \Theta\pars{x',x}F\quad\mbox{donde}\quad
\left\vert\begin{array}{rcl}
{\cal F}_{\rm roce}^{>}\pars{x,x'} & \equiv & +F
\\[2mm]
{\cal F}_{\rm roce}^{<}\pars{x,x'} & \equiv & -F
\end{array}\right.
$$
El trabajo ${\cal T}_{\rm roce}$ viene dado por:
\begin{align*}
{\cal T}_{\rm roce} & =
\oint_{\ck}{\cal F}_{\rm roce}\pars{x,L}\,\dd x =
\ob{\int_{0_{-}}^{L_{-}}{\cal F}_{\rm roce}\pars{x,L}\,\dd x}
{\ds{\int_{0}^{L}{\cal F}_{\rm roce}^{<}\pars{x,L}\,\dd x}}\
+\
\ob{\int_{L_{+}}^{0_{+}}{\cal F}_{\rm roce}\pars{x,L}\,\dd x}
{\ds{\int_{L}^{0}{\cal F}_{\rm roce}^{>}\pars{x,L}\,\dd x}}
\\[3mm] & =
\int_{0}^{L}\pars{-F}\,\dd x + \int_{L}^{0}\pars{+F}\,\dd x =
\fbox{$\ds{-2FL}$}
\end{align*}
El cálculo siguiente $\pars{~\mbox{con}\ L \in \ck_{+}~}$
ilustra como pueden extenderse las integraciones hasta
$\infty$ sin alterar el resultado final $-2FL$:
\begin{align*}
{\cal T}_{\rm roce} & =
\oint_{\ck}{\cal F}_{\rm roce}\pars{x,L}\,\dd x =
\lim_{\Lambda \to \infty}\bracks{%
\int_{0_{-}}^{\Lambda{-}}{\cal F}_{\rm roce}\pars{x,L}\,\dd x +
\int_{\Lambda_{+}}^{0_{+}}{\cal F}_{\rm roce}\pars{x,L}\,\dd x}
\\[3mm] &= \lim_{\Lambda \to \infty}\braces{%
\int_{0}^{\Lambda}{\cal F}_{\rm roce}^{<}\pars{x,L}\,\dd x +
\bracks{\int_{\Lambda}^{L}{\cal F}_{\rm roce}^{<}\pars{x,L}\,\dd x +
\int_{L}^{0}{\cal F}_{\rm roce}^{>}\pars{x,L}\,\dd x}}
\\[3mm] &= \lim_{\Lambda \to \infty}
\bracks{\int_{0}^{\Lambda}{\cal F}_{\rm roce}^{<}\pars{x,L}\,\dd x +
\int_{\Lambda}^{L}{\cal F}_{\rm roce}^{<}\pars{x,L}\,\dd x} +
\int_{L}^{0}{\cal F}_{\rm roce}^{>}\pars{x,L}\,\dd x
\\[3mm] &=
\int_{0}^{L}{\cal F}_{\rm roce}^{<}\pars{x,L}\,\dd x +
\int_{L}^{0}{\cal F}_{\rm roce}^{>}\pars{x,L}\,\dd x
= \fbox{$\ds{-2FL}$}
\end{align*}
Note que la integración sobre $\pars{L,\infty}$ en $\ck_{-}$
cancela la integración desde $\infty$ hasta $L$
en $\ck_{+}$ porque en ambos casos se cumple $x \leq_{\rm K} L$ tal
que
${\cal F}_{\rm roce}\pars{x,L} = {\cal F}_{\rm roce}^{<}\pars{x,L}$.
En particular, se obtiene el mismo resultado si $L \in \ck_{-}$.