Formalismo de Keldysh. F. P. Marin. Fisica. Ciencias. UCV

Átomo + Radiación

Consideremos

Una cavidad que consiste de placas paralelas, de área transversal ${\cal A}$, perfectamente reflectoras ( el campo eléctrico se anula sobre ellas ) localizadas en $z = 0$ y $z = L > 0$.
Un átomo a dos niveles $\ket{\pm}$, con energías $E_{\pm}$ $\pars{~E_{+} \geq E_{-}\,,\ \Delta \equiv E_{+} - E_{-} \geq 0~}$, localizado en $\pars{0,0,Z}$ con $0 < Z < L$ y $\pars{~\vphantom{\Large A}\braketd{\sigma}{\sigma'} = \delta_{\sigma\sigma'};\ \sigma, \sigma' \in \braces{-,+}~}$.

Ver la figura siguiente:

Un átomo a dos niveles encerrado entre dos paredes perfectamente reflectoras es afectado por el gas de fotones que lo rodea: Ello produce tanto absorción y emisión espontánea como emisión estimulada del átomo. Este modelo simple es frecuente en la literatura de LASER ( ver, por ejm, Laser Physics. M. Sargent III, M. Scully and W. E. Lamb Jr. Westview Press; Fifth Printing 1987 edition; January 22, 1978 ) y, a su vez, constituye un ejemplo simple de la cuantización del campo electromagnético.

La idea de emisión espontánea fue introducida por Einstein, basado en el Pricipio de Balance Detallado, y condujo al Coeficiente $A$ de Einstein que es la tasa de decaimiento espontáneo.

El Átomo

Puesto que el átomo es un sistema a dos niveles $\pars{~\ket{-}\ \mbox{y}\ \ket{+}~}$, su hamiltoniano $H_{\rm A}$ puede ser representado por la siguiente matriz $2 \times 2$:

$$ H_{\rm A} = \pars{\begin{array}{cc}E_{+} & 0 \\ 0 & E_{-}\end{array}} = {E_{+} + E_{-} \over 2} + {E_{+} - E_{-} \over 2}\,\sigma_{z}\,,\qquad \left\lbrace\begin{array}{rcl} \ket{+} & \equiv & {1 \choose 0} \\[2mm] \ket{-} & \equiv & {0 \choose 1} \end{array}\right. $$ Introduzcamos el operador $\quad b\quad $ tal que $\quad b\ket{-} = 0\quad$ y $\quad b\ket{+} = \ket{-}$: $$ b = \pars{% \begin{array}{cc} \eofm{+}{b}{+} & \eofm{+}{b}{-} \\[1mm] \eofm{-}{b}{+} & \eofm{-}{b}{-} \end{array}} = \pars{% \begin{array}{cc} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 0 \end{array}} = {\sigma_{x} - \sigma_{y}\ic \over 2} \quad\imp\quad b\+ = {\sigma_{x} + \sigma_{y}\ic \over 2} $$ Note que \begin{align} &\left.\begin{array}{rcl} n & \equiv & b\+b\ =\ \half + \half\,\sigma_{z} \\[2mm] 1 - n & = & bb\+\ =\ \half - \half\,\sigma_{z} \\[2mm] b^{2} & = & {b\+}^{2}\ =\ 0 \end{array}\right\rbrace \quad\mbox{tal que}\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} \braces{b,b\+} & = & \phantom{-}1 \\[2mm] \bracks{b,b\+} & = & -\,\sigma_{z} \\[2mm] \bracks{b,\sigma_{z}} & = & \phantom{-}2b \\[2mm] \bracks{b\+,\sigma_{z}} & = & -2b\+ \\[1mm] \sigma_{z} & = & \phantom{-}2b\+b - 1\ =\ 2n - 1 \end{array}\right. \end{align} Además, $n^{2} = \pars{b\+b}^{2} = b\+b\,b\+b = b\+\pars{1 - b\+b}b = b\+b = n \imp$ que los autovalores de $n = b\+b$ son $0$ y $1$: Ello significa que $\angles{n\pars{t}} = \angles{b\+\pars{t}b\pars{t}}$ representa la probabilidad $\pp_{+}\pars{t}$ de que el átomo se encuentre en el estado excitado $\ket{+}$ en el instante $t$ puesto que $$ \angles{n\pars{t}} = \angles{b\+\pars{t}b\pars{t}} = \bracks{1 - \pp_{+}\pars{t}} \times 0 + \pp_{+}\pars{t} \times 1 = \pp_{+}\pars{t} $$ Además, con la matriz densidad $\rho\pars{t}$ se obtiene: \begin{eqnarray*} \pp_{+}\pars{t} & = & \eofm{+}{\,\rho\pars{t}}{+} = \trace\pars{\rho\pars{t}\ket{+}\bra{+}} = \trace\pars{\rho\pars{t}{1 \choose 0}\pars{1 \quad 0}} = \trace\pars{\rho\pars{t}\pars{\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}}} \\[3mm] & = & \trace\pars{\rho\pars{t}\bracks{\half + \half\,\sigma_{z}}} = \trace\pars{\rho\pars{t}b\+b} = \trace\pars{\rho\pars{0}b\+\pars{t}b\pars{t}} = \angles{b\+\pars{t}b\pars{t}} = \angles{n\pars{t}} \end{eqnarray*} donde $\rho\pars{t} = {\rm U}\pars{t,0}\rho\pars{0}{\rm U}\pars{0,t}$ y $b\pars{t} = {\rm U}\pars{0,t}b{\rm U}\pars{t,0}$. Ver definiciones del operador de evolución.

En términos de $b$ y $b\+$ el hamiltoniano $H_{\rm A}$ puede ser reescrito en la forma:

\begin{align} H_{\rm A} & = E_{-} + \Delta\,b\+b = E_{-} + n\Delta\,,\qquad\qquad \Delta = E_{+} - E_{-} \geq 0 \label{HA} \end{align}

La Radiación

Escogamos los campos eléctrico $\vec{\rm E}\pars{z,t}$ y magnético $\vec{\rm B}\pars{z,t}$ a lo largo de los ejes $x$ e $y$, respectivamente:

\begin{align*} \vec{\rm E}\pars{z,t} & \equiv \hat{x}\raiz{8\pi \over \Omega}\sum_{k}M_{k}^{1/2}\omega_{k} {\rm q}_{k}\pars{t}\sen\pars{kz} \\[3mm] \vec{\rm B}\pars{z,t} & \equiv \hat{y}\raiz{8\pi \over \Omega} \sum_{k}M_{k}^{-1/2}{\rm p}_{k}\pars{t}\cos\pars{kz} \end{align*}

$\Omega = {\cal A}L$ es el volumen del sistema y $\omega_{k} \equiv ck$. $c$ es la rapidez de la luz. ${\rm q}_{k}\pars{t}$ tiene dimensión de longitud tal que $M_{k} > 0$ tiene dimensión de masa y ${\rm p}_{k}\pars{t}$ tiene dimensión de momento lineal. $k$'s son de la forma $k = j\,\pars{\pi/L}$ $\pars{~j = 1,2,3,\ldots~}$ tal que el campo eléctrico se anula en $z = 0$ y $z = L$.

Las ecuaciones de Maxwell $\ds{\nabla\times\vec{\rm E}\pars{z,t} = -\,{1 \over c}\,\partiald{\vec{\rm B}\pars{z,t}}{t}}$ y $\ds{\nabla\times\vec{\rm B}\pars{z,t} = {1 \over c}\,\partiald{\vec{\rm E}\pars{z,t}}{t}}$ conducen, respectivamente, a \begin{align*} \hat{y}\raiz{8\pi \over \Omega} \sum_{k}M_{k}^{1/2}\omega_{k}{\rm q}_{k}\pars{t} \bracks{\cos\pars{kz}k} &= \hat{y}\raiz{8\pi \over \Omega}\sum_{k}M_{k}^{-1/2} \bracks{-\,{\dot{\rm p}_{k}\pars{t} \over c}}\, \cos\pars{kz} \\[3mm] -\hat{x}\raiz{8\pi \over \Omega} \sum_{k}M_{k}^{-1/2}{\rm p}_{k}\pars{t} \bracks{-\sen\pars{kz}k} &= \hat{x}\raiz{8\pi \over \Omega} \sum_{k}M_{k}^{1/2}\omega_{k}\, {\dot{\rm q}_{k}\pars{t} \over c}\sen\pars{kz} \end{align*} De estas relaciones se infiere que $\braces{{\rm q}_{k}\pars{t},{\rm p}_{k}\pars{t}}$ satisfacen las ecuaciones de movimiento, para cada $k$, de un oscilador armónico simple de masa $M_{k}$ y frecuencia angular $\omega_{k}$ ( con constante de Hooke $M_{k}\omega_{k}^{2}$ ):

$\ds{\dot{\rm q}_{k}\pars{t} = {{\rm p}_{k}\pars{t} \over M_{k}}\,,\quad}$ $\ds{\dot{\rm p}_{k}\pars{t} = -M_{k}\omega_{k}^{2}{\rm q}_{k}\pars{t}.}$

La energía ${\cal E}_{\rm rad}$ de la radiación libre es independiente de $t$ y viene dada por

\begin{eqnarray*} {\cal E}_{\rm rad} & = & {1 \over 8\pi}\int_{\rm cavidad}\bracks{% {\rm E}^{2}\pars{z,0} + {\rm B}^{2}\pars{z,0}}\,\dd V \\[3mm]& = & {1 \over 8\pi}\,{\cal A}\sum_{kk'}\left\lbrack\phantom{+}% \raiz{8\pi \over \Omega}M_{k}^{1/2}\omega_{k}{\rm q}_{k} \raiz{8\pi \over \Omega}M_{k'}^{1/2}\omega_{k'}{\rm q}_{k'}\ \ob{\int_{0}^{L}\sen\pars{kz}\sen\pars{k'z}\,\dd z} {\ds{\half\,L\,\delta_{kk'}}}\right. \\&&\left. \phantom{{1 \over 8\pi}\,{\cal A}\sum_{kk'}\left\lbrack\right.}+ \raiz{8\pi \over \Omega}M_{k}^{-1/2}{\rm p}_{k} \raiz{8\pi \over \Omega}M_{k'}^{-1/2}{\rm p}_{k'}\ \ob{\int_{0}^{L}\cos\pars{kz}\cos\pars{k'z}\,\dd z} {\ds{\half\,L\,\delta_{kk'}}}\right\rbrack \end{eqnarray*}

$$ {\cal E}_{\rm rad} = \sum_{k}\pars{{{\rm p}_{k}^{2} \over 2M_{k}} + \half\,M_{k}\omega_{k}^{2}{\rm q}_{k}^{2}} $$

${\cal E}_{\rm rad}$ puede reescribirse en la forma \begin{eqnarray*} {\cal E}_{\rm rad} & = & \sum_{k}{1 \over 2M_{k}\hbar\omega_{k}}\pars{% {\rm p}_{k}^{2} + M_{k}^{2}\omega_{k}^{2}{\rm q}_{k}^{2}}\hbar\omega_{k} \\[3mm]& = & \sum_{k}\pars{{M_{k}\omega_{k}{\rm q}_{k} - {\rm p}_{k}\ic \over \raiz{2M_{k}\hbar\omega_{k}}}\, {M_{k}\omega_{k}{\rm q}_{k} + {\rm p}_{k}\ic \over \raiz{2M_{k}\hbar\omega_{k}}} - {{\rm q}_{k}{\rm p}_{k} - {\rm p}_{k}{\rm q}_{k}\over 2\hbar}\,\ic} \hbar\omega_{k} \end{eqnarray*} El campo electromagnético se cuantiza con la introducción de las reglas $$ \begin{array}{c} \bracks{{\rm q}_{k},{\rm p}_{k'}} = \ic\hbar\delta_{kk'}\,,\quad \bracks{{\rm q}_{k},{\rm q}_{k'}} = 0\,,\quad \bracks{{\rm p}_{k},{\rm p}_{k'}} = 0 \\[2mm] \mbox{Note que}\ \bracks{M_{k}\omega_{k}{\rm q}_{k} + {\rm p}_{k}\ic, M_{k}\omega_{k}{\rm q}_{k} - {\rm p}_{k}\ic} = -2M_{k}\omega_{k}\bracks{{\rm q}_{k},{\rm p}_{k}}\ic = 2M_{k}\hbar\omega_{k} \end{array} $$

Ello conduce al hamiltoniano de la radiación libre $H_{\rm R}$:

\begin{align} H_{\rm R} & = \sum_{k}\pars{a_{k}\+a_{k} + \half}\hbar\omega_{k}\label{HR} \end{align}

\begin{eqnarray*} \mbox{donde}&\quad& \left.\begin{array}{rcl} a_{k} & = & {M_{k}\omega_{k}{\rm q}_{k} + {\rm p}_{k}\ic \over \raiz{2M_{k}\hbar\omega_{k}}} \\[2mm] a_{k}\+ & = & {M_{k}\omega_{k}{\rm q}_{k} - {\rm p}_{k}\ic \over \raiz{2M_{k}\hbar\omega_{k}}} \end{array}\right\rbrace \quad\imp\quad \left\lbrace\begin{array}{rcl} {\rm q}_{k} & = & \raiz{\hbar \over 2M_{k}\omega_{k}}\pars{a_{k}\+ + a_{k}} \\[2mm] {\rm p}_{k} & = & \raiz{\hbar M_{k}\omega_{k} \over 2}\ic\pars{a_{k}\+ - a_{k}} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

El campo electromagnético $\pars{~\vphantom{A^{A^{A}}}% {\rm E}_{x}\pars{z} \equiv {\rm E}_{x}\pars{z,0} \phantom{AA}\mbox{y}\phantom{AA} {\rm B}_{y}\pars{z} \equiv {\rm B}_{y}\pars{z,0}~}$ se reduce a

\begin{align} {\rm E}_{x}\pars{z} &= \raiz{4\pi \over \Omega}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kz} \pars{a_{k}\+ + a_{k}} \\[3mm] {\rm B}_{y}\pars{z} &= \raiz{4\pi \over \Omega}\ic\sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\cos\pars{kz} \pars{a_{k}\+ - a_{k}} \\[3mm]&\phantom{\ =\ } \mbox{con}\ \hbar = 1.\nonumber \end{align}

Interacción Átomo-Radiación

Por simplicidad consideraremos una situación donde el campo varía suavemente sobre la posición del átomo: Es decir,

Solo consideramos fotones con longitud de onda $\lambda_{k} = 2\pi/k \gg d_{\rm a}\ \imp\ k \ll 2\pi/d_{\rm a}$. $d_{\rm a}$ es una dimensión típica del átomo.
Ello corresponde a fotones con energías $$ \hbar\omega_{k} = \hbar ck \ll {hc \over d_{\rm a}} = {h/\pars{mc} \over d_{\rm a}}\,mc^{2}\,,\quad \left\vert\begin{array}{rcl} m &:& \mbox{Masa del Electrón.}&& \\[3mm] {h \over mc} &:& \mbox{Longitud de Onda} \\&& \mbox{de Compton}\ \sim 10^{-2} Å \\[3mm] d_{\rm a} & \sim & Å \\[3mm] mc^{2} & \sim & 0.5\ {\rm MeV} \sim 10^{5}\ {\rm eV} \\&& \sim \kb\pars{10^{9} \kelvin} \end{array}\right. $$
$$ \begin{array}{|c|}\hline\mbox{}\\ \hbar\omega_{k} \ll \kb\pars{10^{7} \kelvin} \\ \mbox{}\\ \hline \end{array} $$ Por ejm, en equilibrio termodinámico ello requiere temperaturas $\ll 10^{7}\kelvin$ lo cual es un requisito que puede cumplirse con facilidad. Las sumas sobre $k$ se realizan hasta algún valor apropiado $k_{\rm c}$ de $k$.
En la aproximación de longitudes de onda muy grandes, discutida arriba, la interacción se reduce a $-\,\vec{d}\cdot\vec{\rm E}\pars{Z} = -d_{x}{\rm E}_{x}\pars{Z}$ ( Aproximación Dipolar Eléctrica o/y Hamiltoniano de Rabi ) donde $\vec{d}$ es el momento dipolar eléctrico del átomo. La forma particular de la interacción involucra algunas hipótesis particulares acerca de la estructura interna del átomo en consideración las cuales, por simplicidad, no discutimos en estas notas: Algunas hipótesis adicionales aparecen en la discusión que sigue a continuación.

La interacción del átomo con la radiación viene dada por:

$$ \mbox{}-\pars{\begin{array}{c} \eofm{+}{d_{x}}{+} & \eofm{+}{d_{x}}{-} \\[2mm] \eofm{-}{d_{x}}{+} & \eofm{-}{d_{x}}{-} \end{array}}\, {\rm E}_{x}\pars{Z} $$ Consideramos el caso simple $\eofm{\sigma}{d_{x}}{\sigma} = 0$ y $\eofm{+}{d_{x}}{-} = \eofm{-}{d_{x}}{+} \equiv \wp$ $\pars{~\mbox{con}\ \wp \in {\mathbb R}}$ tal que la interacción del átomo con la radiación se reduce a \begin{eqnarray*} &&\mbox{}-\pars{\begin{array}{c} \eofm{+}{d_{x}}{+} & \eofm{+}{d_{x}}{-} \\[2mm] \eofm{-}{d_{x}}{+} & \eofm{-}{d_{x}}{-} \end{array}}\, {\rm E}_{x}\pars{Z} = -\pars{\begin{array}{c} 0 & \wp \\[2mm] \wp & 0 \end{array}} {\rm E}_{x}\pars{Z} =-\wp\sigma_{x}{\rm E}_{x}\pars{Z} \\[3mm]&& = -\wp\ \ob{\pars{b + b\+}}{\ds{\sigma_{x}}}\ \ob{% \raiz{4\pi \over \Omega}\sum_{k}\omega_{k}^{1/2} \pars{a_{k}\+ + a_{k}}\sen\pars{kZ}}{\ds{{\rm E}_{x}\pars{Z}}} \\[3mm]&& = -{\cal V} \sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\pars{a_{k}\+b + b\+a_{k}} - \color{#f00}{{\cal V} \sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\pars{a_{k}\+b\+ + ba_{k}}} \\[2mm]\mbox{con}&& \begin{array}{|c|}\hline\\ \mbox{}\\ {\cal V} \equiv \raiz{4\pi \over \Omega}\wp\,,\qquad\hbar = 1 \\ \mbox{}\\ \hline \end{array} \end{eqnarray*} El $\color{#f00}{\mbox{último término}}$ en esta expresión no es importante si solo estamos interesados en el estudio de la absorción o/y emisión resonantes que es uno de los objetivos principales de estas notas. En la presente discusión ignoraremos $\color{#f00}{\mbox{este término}}$ lo cual se conoce como la Aproximación de la Onda Rotante.

En conclusión, la interacción átomo-radiación se reduce, en la Aproximación de la Onda Rotante, a

\begin{align} &-{\cal V} \sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\pars{a_{k}\+b + b\+a_{k}}\,, \qquad{\cal V} = \raiz{4\pi \over \Omega}\wp\,;\qquad\hbar = 1 \label{HAR} \end{align}

Con \eqref{HA}, \eqref{HR} y \eqref{HAR} el hamiltoniano del sistema en estudio viene dado por:

\begin{align} H & = E_{-} + \Delta\,b\+b + \sum_{k}\pars{a_{k}\+a_{k} + \half}\omega_{k} -{\cal V} \sum_{k}\omega_{k}^{1/2}\sen\pars{kZ}\pars{a_{k}\+b + b\+a_{k}} \label{HAMASR} \\[3mm]\mbox{con}& \begin{array}{|c|}\hline\\ \mbox{}\\ {\cal V} \equiv \raiz{4\pi \over \Omega}\wp\quad\mbox{y}\quad n = b\+b \\ \mbox{}\\ \hline \end{array}\,,\qquad\hbar = 1 \end{align}

El hamiltoniano presenta algunas dificultades a pesar de que es bilineal:

Si consideramos a $b$ y $b\+$ como operadores fermiónicos $$ b\ \mbox{y}\ b\+\quad\mbox{satisfacen}\quad\braces{b,b\+} = 1\,,\quad \braces{b,b} = 0\,,\quad\braces{b\+,b\+} = 0\,, $$ el hamiltoniano describe un gas de fermiones en interacción con un gas de bosones.
Otra alternativa es usar funciones de Green-Keldysh de caracter bosónico pero $b$ y $b\+$ ${\large no}$ satisfacen las reglas de conmutación bosónicas puesto que $\bracks{b,b\+} = -\sigma_{z}$.

Una versión reducida es conocida como Hamiltoniano de Rabi ( ver The Canonical Form of the Rabi Hamiltonian. M. Szopa, G. Mys and A. Ceulemans. 1996 ) el cual luce inocentemente simple:

$$ H_{\rm Rabi} = \omega a\+a + \mu\sigma_{z} + \lambda\pars{\sigma^{+} + \sigma^{-}}\pars{a\+ + a} $$ pero no lo es: Revise el artículo mencionado arriba.

El estudio mecánico-cuántico de la absorción y emisión espontanea o inducida de radiación por un átomo es de vieja data. Por ejm, Weisskopf y Wigner iniciaron el estudio de la emisión espontánea en 1930 ( Calculating the Natural Linewidth due to the Dirac Theory of Light . V. F. Weisskopf and E. Wigner, 1930, Z. Phys. 63, 54 ). Para un resumen de la aproximación de Weisskopf-Wigner ver este enlace.

Ver Apéndice B. La Aproximación de Weisskopf-Wigner: Decaimiento Espontáneo.

Otro modelo, ampliamente usado en Óptica Cuántica, que se relaciona con el contenido de esta sección viene dado por el hamiltoniano de Jaynes–Cummings ( Comparison of Quantum and Semiclassical Radiation Theories with Application to the Beam Maser. Jaynes E. T. and Cummings F. W. Proc. IEEE 51 (1): 89–109 ( 1963 ) ). Un resumen pedagógico puede consultarse en Wikipedia y en Johansson and Bauch.

Ver también, Lifetime of Excited States and Width of Energy Levels en Quantum Mechanics, A. S. Davydov, Pergamon Press Ltd. 1968, Capítulo IX, pág. 309.