$\newcommand{\+}{^{\dagger}}\newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}\newcommand{\bose}{\,{\rm n}}\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right\vert}\newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}\newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}\newcommand{\braket}[2]{\left\langle #1 \vert #2 \right\rangle}\newcommand{\braketi}[2]{\left.\left\langle #1 \right\vert #2 \right\rangle}\newcommand{\braketd}[2]{\left\langle #1 \left\vert #2 \right\rangle\right.}\newcommand{\ck}{{\rm C_{K}}}\newcommand{\dd}{{\rm d}}\newcommand{\dos}{\,{\cal D}}\newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}\newcommand{\eofm}[3]{\left\langle #1 \left\vert #2 \right\vert #3 \right\rangle}\newcommand{\expo}[1]{{\rm e}^{#1}}\newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}\newcommand{\fvec}[1]{\,\vec{\rm #1}}\newcommand{\half}{{1 \over 2}}\newcommand{\ic}{{\rm i}}\newcommand{\iff}{\Leftrightarrow}\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}\newcommand{\kb}{{\rm k_{B}}}\newcommand{\kelvin}{\,{\rm K}}\newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1 \right\rangle}\newcommand{\ketbra}[2]{\left\vert #1 \right\rangle\left\langle #2 \right\vert}\newcommand{\mat}[1]{{\sf #1}}\newcommand{\ob}[2]{\overbrace{ #1 }^{#2}}\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}\newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}\newcommand{\partiald}[3][]{{\partial^{#1}#2 \over \partial #3^{#1}}}\newcommand{\pp}{{\cal P}}\newcommand{\raiz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\, {#2}\, }\,}\newcommand{\sen}{\,{\rm sen}}\newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}\newcommand{\ss}[1]{\scriptstyle{#1}}\newcommand{\sss}[1]{\scriptscriptstyle{#1}}\newcommand{\tk}{{\rm T_{K}}}\newcommand{\trace}{{\rm Tr}}\newcommand{\totald}[3][]{{{\rm d}^{#1}#2 \over {\rm d}^{#1}#3}}\newcommand{\ub}[2]{\underbrace{ #1 }_{#2}}\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}\newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}\newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$
Flujo de Carga desde los Reservorios y Población
en la Gota Cuántica
El flujo de carga eléctrica $\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}$
desde el reservorio $\eta$ puede expresarse en términos
de la variación temporal del número medio de
partículas $\angles{N_{\eta}\pars{t}}$ en el reservorio
$\eta$. ${\cal I}_{\eta}$ es un observable cuyos valores medios
corresponden al flujo de carga desde el reservorio $\eta$.
Enfatizamos que
$\angles{\cdots} = \trace\pars{\rho\pars{t_{0}}\ldots}$ donde
$\rho\pars{t_{0}}$ es la matriz densidad en el instante inicial $t_{0}$
y $\cdots$ es un operador o producto de operadores en la
representación de Heisenberg.
$$
\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}
\equiv
-e\bracks{-\,\frac{\dd\angles{N_{\eta}\pars{t}}}{\dd t}}
=
e\braces{-\,{\ic \over \hbar}\,\angles{\bracks{N_{\eta}\pars{t},H}}}
=
-\,{\ic e \over \hbar}\,\angles{\bracks{N_{\eta}\pars{t},H_{T}\pars{t}}}
$$
donde $-e < 0$ es la carga del electrón.
$\displaystyle{%
\bracks{N_{\eta},H_{T}}
=
\sum_{\vec{k}}
\pars{V_{\eta\vec{k}}^{*}\,a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}b
-
V_{\eta\vec{k}}\,b^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}}}
$
$$
\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}
=
-\,{\ic e \over \hbar}\,
\sum_{\vec{k}}\bracks{%
V_{\eta\vec{k}}^{*}\angles{a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}\pars{t}b\pars{t}}
-
V_{\eta\vec{k}}\angles{b^{\dagger}\pars{t}a_{\eta\vec{k}}\pars{t}}}
$$
En consecuencia,
$$
\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}
=
-\,{2e \over \hbar}\,\Im\sum_{\vec{k}}V_{\eta\vec{k}}
\angles{b^{\dagger}\pars{t}a_{\eta\vec{k}}\pars{t}}
$$
El número medio de partículas en la gota
cuántica $G$ viene dado por
$$
\angles{n\pars{t}} = \angles{b^{\dagger}\pars{t}b\pars{t}}\,,
\quad
n \equiv b^{\dagger}b
$$
$-e$ es la carga del electrón.
${\cal I}_{\eta}
\equiv
-\pars{\ic e/\hbar}\bracks{N_{\eta},H_{T}}
=
-\pars{\ic e/\hbar}\sum_{\vec{k}}\pars{%
V_{\eta\vec{k}}^{*}\,a_{\eta\vec{k}}^{\dagger}b
-
V_{\eta\vec{k}}\,b^{\dagger}a_{\eta\vec{k}}}$ es el observable
asociado al flujo de carga, mencionado arriba, desde el reservorio
$\eta$. Así mismo, el flujo de carga
${\cal I}_{n} \equiv
e\,\left.\dd n\pars{t}/\dd t\right\vert_{\, t = t_{0}}
= -\pars{\ic e/\hbar}\bracks{n,H_{T}}$ desde la gota
cuántica $GC$ hacia los reservorios satisface, en virtud de la
conservación del número total de partículas
$\pars{~\bracks{\sum_{\eta}N_{\eta} + n,H}=0~}$,
\begin{equation}
\sum_{\eta}{\cal I}_{\eta} + {\cal I}_{n} = 0
\label{conservacionN}
\end{equation}
Las funciones de correlación
$\angles{b^{\dagger}\pars{t}a_{\eta\vec{k}}\pars{t}}$ y
$\angles{b^{\dagger}\pars{t}b\pars{t}}$, a tiempos iguales,
sugieren la Introducción de las funciones de Green-Keldysh
\begin{align}
{\rm F}_{\eta\vec{k}}\pars{t,t'}
& \equiv
-\ic\angles{\tk\,a_{\eta\vec{k}}\pars{t}b^{\dagger}\pars{t'}}
=
-\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{a_{\eta\vec{k}}\pars{t}b^{\dagger}\pars{t'}}
+
\ic\Theta\pars{t',t}\angles{b^{\dagger}\pars{t'}a_{\eta\vec{k}}\pars{t}}
\label{defF}
\\[5mm]
{\rm G}\pars{t,t'}
& \equiv
-\ic\angles{\tk\,b\pars{t}b^{\dagger}\pars{t'}}
\equiv
-\ic\Theta\pars{t,t'}\angles{b\pars{t}b^{\dagger}\pars{t'}}
+
\ic\Theta\pars{t',t}\angles{b^{\dagger}\pars{t'}b\pars{t}}
\label{defG}
\end{align}
tal que
\begin{align}
\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}
&
=
{2e \over \hbar}\,\Re\sum_{\vec{k}}V_{\eta\vec{k}}
{\rm F}_{\eta\vec{k}}^{<}\pars{t,t}
\label{IvsVF}
\\[1mm]
\angles{n\pars{t}} & = -\ic{\rm G}^{<}\pars{t,t}
\label{nvsG}
\end{align}
$$
\mbox{Note que}\quad
{\rm F}_{\eta\vec{k}}^{<}\pars{t,t'}
=
\ic\angles{b^{\dagger}\pars{t'}a_{\eta\vec{k}}\pars{t}}
\quad\mbox{y}\quad
{\rm G}^{<}\pars{t,t'}
=
\ic\angles{b^{\dagger}\pars{t'}b\pars{t}}
$$
En general, se estudian las ecuaciones de movimiento de las funciones de
Green-Keldysh sobre el contorno de Keldysh $\ck$ y, a partir de estas,
se derivan resultados para las diferentes
versiones: $^{<},\ ^{>},\ ^{\rm\pars{a}}\ $ y $\ ^{\rm\pars{r}}$.
Balance Energético
La variación de la energía media del sistema en
función del tiempo viene dada por
\begin{align*}
\totald{\angles{H_{0}\pars{t}}}{t}
&=-\,{\ic \over \hbar}\,\bracks{H_{0}\pars{t},H\pars{t}}
=-\,{\ic \over \hbar}\,\bracks{H_{0}\pars{t},H_{\rm T}\pars{t}}
\\[3mm]&=\sum_{\eta}V_{\eta}\ \underbrace{%
\braces{-\,{\ic e \over \hbar}\,
\bracks{N_{\eta}\pars{t},H_{\rm T}\pars{t}}}}
_{\large\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}}
+ V_{G}\ \underbrace{\braces{-\,{\ic e \over \hbar}\,
\bracks{n\pars{t},H_{\rm T}\pars{t}}}}_{\large\angles{{\cal I}_{n}\pars{t}}}
\end{align*}
$\angles{{\cal I}_{n}\pars{t}}\equiv e\,\totald{\angles{n\pars{t}}}{t}$ es
el
flujo de carga desde la gota cuántica
hacia los
reservorios.
$$
\totald{\angles{H_{0}\pars{t}}}{t}
=
\sum_{\eta}V_{\eta}\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}
+ V_{G}\angles{{\cal I}_{n}\pars{t}}
=
\sum_{\eta}\pars{V_{\eta} - V_{G}}\angles{{\cal I}_{\eta}\pars{t}}
$$