En Mecánica Cuántica, el valor medio de una variable dinámica ( posición, componentes del momento lineal o angular, espin, etc$\ldots$ ) de un sistema físico viene dado por $\trace\pars{\rho\pars{t}A}$. $\rho\pars{t}$ es la matriz densidad u operador densidad la cual describe el estado del sistema en el instante $t$ y $A$ es un observable asociado a la variable dinámica mencionada arriba. $\rho\pars{t}$ satisface la ecuación de von Neumann
\begin{equation} \ic\hbar\,{\partial\rho\pars{t} \over \partial t} = \bracks{H,\rho\pars{t}}\,,\qquad\trace\pars{\rho\pars{t}} = 1 \label{ecvonNeumann} \end{equation} donde $H$ es el hamiltoniano del sistema. En general, $H$ puede depender explícitamente de $t$ como, entre otras razones, resultado de una transformación unitaria de un hamiltoniano independiente del tiempo o debido a la acción de agentes externos. Por simplicidad hemos omitido cualquier referencia explícita a tales casos pero el lector debe permanecer consciente de tal eventualidad.| Estado Puro | Cuando el estado del sistema es descrito por un Vector de
Estado $\ket{\Psi\pars{t}}$, la matriz densidad viene dada
por $\rho\pars{t} = \ketbra{\Psi\pars{t}}{\Psi\pars{t}}$
la cual satisface $\rho^{2}\pars{t} = \rho\pars{t}$. En tal
caso se dice que la matriz densidad describe un Estado
Puro. Si expresamos el estado $\ket{\Psi\pars{t}}$ en
términos de una base dada
$\braces{\ket{n} \ni \braketd{n}{n'} = \delta_{nn'}}$
$$
\ket{\Psi\pars{t}} = \sum_{n}a_{n}\pars{t}\ket{n}\,,\qquad
a_{n}\pars{t} \equiv \braketd{n}{\Psi\pars{t}}
\equiv \Psi_{n}\pars{t}
$$
la matriz densidad se reduce a
\begin{align*}
\rho\pars{t} & = \sum_{m, n}\rho_{mn}\pars{t}\ketbra{m}{n}\,,
\quad \rho_{mn}\pars{t} \equiv a_{m}\pars{t}a_{n}^{*}\pars{t}
= \eofm{m}{\rho\pars{t}}{n}
\\[3mm]
\rho\pars{t} &
= \color{#00f}{\sum_{n}\rho_{nn}\pars{t}\ketbra{n}{n}}
+ \color{#f00}{\sum_{m \not= n}\rho_{mn}\pars{t}\ketbra{m}{n}}
\end{align*}
$\rho_{nn}\pars{t}$ es la Probabilidad de encontrarel Sistema en el Estado $\ket{n}$, en el Instante $t$. Obviamente, $\trace\pars{\rho\pars{t}} = \sum_{n}\rho_{nn}\pars{t} = 1\,,\ \forall\ t$. Note que, por ejemplo, cuando $\color{#f00}{\left.\rho_{mn}\pars{t}\right\vert_{m\ \not=\ n} = 0}$, el término remanente$\color{#00f}{\sum_{n}\rho_{nn}\pars{t}\ketbra{n}{n}} \equiv \color{#00f}{\wt{\rho}\pars{t}}$ aun representa una matriz densidad ( ver el enlace mencionado arriba ) pero no describe un estado puro puesto que $\color{#00f}{\wt{\rho}^{2}\pars{t}} \not= \color{#00f}{\wt{\rho}\pars{t}}$. |
| Estado Mezcla | En este caso, el estado del sistema no es
representado por un vector de estado $\ket{\Psi\pars{t}}$.
La matriz densidad $\rho\pars{t}$ satisface
$\rho^{2}\pars{t} \not= \rho\pars{t}$. Ilustraremos un
estado mezcla con el siguiente ejemplo:
Consideremos una partícula con spin $1/2$ de la cual solo sabemos que el valor medio del spin es cero. En ausencia de información adicional, escogemos la matriz densidad \begin{align*} \rho & \equiv {1 \over \raiz{2}}\,\ketbra{-}{-} \phantom{AA}{\Large\mbox{$+$}}\phantom{AA} {1 \over \raiz{2}}\,\ketbra{+}{+} = {1 \over \raiz{2}}\pars{% \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}} \\[2mm] \rho^{2} & = \half\pars{\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}} \not= \rho \end{align*} donde $\ket{\pm}$ son los dos posibles estados de la partícula: $\braketd{\sigma}{\sigma'} = \delta_{\sigma\sigma'}$. $\sigma, \sigma' = \pm$. En este ejemplo particular, y en general, la matriz densidad puede ser escrita en términos de la matriz identidad y las matrices de Pauli $\braces{\sigma_{i}\,,\ i = x, y, z}$: \begin{align*} \rho = a + \vec{b}\cdot\vec{\sigma} &\quad\mbox{con}\quad \left\lbrace\begin{array}{rcccl} 1 & = & \trace\pars{\rho} & = & 2a \\[2mm] \angles{\sigma_{i}} & = & \trace\pars{\rho\sigma_{i}} & = & 2b_{i} \end{array}\right. \\[5mm] \mbox{tal que}\quad & \left\lbrace\begin{array}{rcl} \rho & = & \half + \half\,\angles{\vec{\sigma}}\cdot\vec{\sigma} \\[2mm] \rho^{2} & = & \pars{{1 \over 4} + {1 \over 4}\angles{\vec{\sigma}}^{2}} + \half\,\angles{\vec{\sigma}}\cdot\vec{\sigma} \end{array}\right. \end{align*} Note que $\rho$ describe un estado mezcla cuando $\verts{\angles{\vec{\sigma}}} \not= 1$. En caso contrario $\pars{~\verts{\angles{\vec{\sigma}}} = 1~}$, $\rho$ describe un estado puro. |
Observemos que el miembro derecho de \eqref{ecvonNeumann}
$\pars{~H\rho\pars{t} + \rho\pars{t}\pars{-H}~}$ posee la
estructura
de la derivada total, de un producto, respecto de
$t$. Ello puede realizarse explícitamente con la
introducción del operador ${\rm U}\pars{t,t'}$ el cual satisface
En particular, si en un instante dado $t'$ el estado del sistema es descrito por el vector $\ket{\Psi\pars{t'}}$ $\pars{~\mbox{lo cual es equivalente a la matriz densidad}\ \ketbra{\Psi\pars{t'}}{\Psi\pars{t'}}~}$, entonces $\ket{\Psi\pars{t}} \equiv {\rm U}\pars{t,t'}\ket{\Psi\pars{t'}}$ satisface la ecuación de Schroedinger
$$ \ic\hbar\,{\dd\ket{\Psi\pars{t}} \over \dd t} = H\ket{\Psi\pars{t}} $$ Por esta razón, ${\rm U}\pars{t,t'}$ se le conoce como Operador de Evolución asociado a $H$ el cual tiene algunas propiedades interesantes cuya demostración dejamos como ejercicio al lector: $$ {\rm U}\pars{t,t'}={\rm U}\pars{t,t''} {\rm U}\pars{t'',t'}\,,\qquad {\rm U}^{\dagger}\pars{t,t'}{\rm U}\pars{t,t'} = 1 $$Usando \eqref{rhott0}, el valor medio del observable $A$, en el
instante $t$, puede reescribirse en la forma
\begin{equation}
\trace\pars{\rho\pars{t}\,A}
=
\trace\pars{\rho\pars{t_{0}}\,A\pars{t}}
\equiv
\angles{A\pars{t}}\,,
\qquad\qquad
\angles{\cdots} \equiv \trace\pars{\rho\pars{t_{0}}\ldots}
\label{valorMedioA}
\end{equation}
donde $A\pars{t}$ es el observable $A$ en la representación de
Heisenberg.
\begin{equation}
A\pars{t}
\equiv
{\rm U}\pars{t_{0},t}A{\rm U}\pars{t,t_{0}}
\label{AHeisenberg}
\end{equation}
Omitimos $t_{0}$ en la definición de $A\pars{t}$ puesto que
usualmente $t_{0}$ es un parámetro que corresponde a un
instante inicial
. $A\pars{t}$ satisface la ecuación de
movimiento de Heisenberg:
\begin{equation}
\ic\hbar\,{\dd A\pars{t} \over \dd t}=\bracks{A\pars{t},H}
\label{ecmovHeisenberg}
\end{equation}
Note que $H\pars{t} = H$.
Cuando $A$ conmuta con $H$ $\pars{~\bracks{A,H} = 0~}$, $A\pars{t}$
es independiente del tiempo: $A\pars{t} = A$. En tal caso, se dice que
$A$ es una Constante del Movimiento. Ello solo significa
que el valor medio del observable $A$ en el instante $t$ es igual a su
valor medio en el instante inicial
.
Por ejm, si en un sistema
dado el Operador Número de Partículas $N_{\rm p}$
conmuta con el hamiltoniano $H$ $\pars{~\bracks{N_{\rm p},H} = 0~}$; ello
solo significa que el número medio de
partículas en cualquier instante de tiempo $t$ es igual al
número medio de partículas en el instante inicial
$t_{0}$:
$$
\angles{N_{\rm p}\pars{t}}=\angles{N_{\rm p}\pars{t_{0}}}
=\angles{N_{\rm p}} \,,\qquad\ \forall\ t
$$
Es decir, el valor medio mencionado arriba es determinado por la
preparación inicial del sistema. Si el número
actual $N_{\rm actual}$ de partículas es un número
dado $\pars{~\mbox{por ejm}\,,\ N_{\rm actual} = 10^{23}~}$, la
matriz densidad en el instante inicial debería
reflejar esta situación con, por ejm,
$\angles{N_{\rm p}^{m}} = N_{\rm actual}^{m}$, $m = 1,2,3,\ldots$. Sin
embargo, el manejo de esta ligadura en un sistema
macroscópico resulta ser complicada y, en la práctica,
solo se impone $\angles{N_{\rm p}} = N_{\rm actual}$ con
fluctuaciones
$\,\sqrt{\,\angles{N_{\rm p}^{2}} - \angles{N_{\rm p}}^{2}\,}\, \propto N_{\rm actual}^{-1/2}$ que son despreciables cuando
$N_{\rm actual} \gg 1$ y se anulan en el límite
termodinámico.
De acuerdo a las expresiones \eqref{valorMedioA}, $\angles{A\pars{t}}$ puede ser evaluado, al menos, de tres maneras: